2.4. Вопросы к экзамену

Что называется двойным интегралом от функции по области ? Укажите его геометрический смысл.
Докажите теорему о среднем для двойного интеграла и укажите её геометрический смысл.
Выведите формулу для вычисления двойного интеграла с помощью двукратного. Обоснуйте формулы, служащие для вычисления объёма цилиндрического тела и площади плоской фигуры с помощью двойных интегралов.
Как выразить элемент площади области и двойной интеграл в полярных координатах? Выведите формулу для вычисления двойного интеграла в полярных координатах с помощью двукратного.
Каков геометрический смысл интеграла , где - функция, обладающая непрерывными частными производными в области ? Вычислите площадь поверхности сферы . Используйте полярные координаты.
Каков механический смысл интеграла , где - непрерывная функция в области ?
Выведите формулу для вычисления координат центра тяжести плоской фигуры , поверхностная плотность которой .
Что называется тройным интегралом от функции по пространственной области V? Укажите его механический смысл.
Что называется трёхкратным интегралом от функции по области V? Как он вычисляется?
Сформулируйте теорему о среднем для тройного интеграла. Выведите формулу для вычисления тройного интеграла с помощью трёхкратного.
Обоснуйте формулу, служащую для вычисления объёма тела с помощью тройного интеграла.
Как выразить элемент объёма области и тройной интеграл в цилиндрических координатах? Напишите формулу для вычисления тройного интеграла в цилиндрических координатах с помощью трёхкратного.
Каков механический смысл интеграла , где - непрерывная функция в области ? Напишите формулу для вычисления координат центра тяжести тела , объёмная плотность которого .
Что называется криволинейным интегралом по координатам? Укажите его механический смысл. Сформулируйте известные Вам свойства криволинейного интеграла.
Как обозначается криволинейный интеграл от векторного поля по кривой ? Что называется циркуляцией векторного поля по замкнутому контуру ?
Дайте определение дивергенции векторного поля и перечислите её дифференциальные свойства. Запишите формулы дивергенции в цилиндрической и сферической системах координат.
Дайте определение ротора векторного поля и перечислите его дифференциальные свойства. Запишите формулы ротора в декартовых координатах и в ортогональных криволинейных координатах.
Что называется потоком векторного поля через двустороннюю поверхность? Перечислите основные свойства и методы вычисления потока.
Сформулируйте теорему Остроградского. Выведите из формулы Остроградского инвариантный смысл дивергенции векторного поля.
Какие векторные поля называются потенциальными? Дайте определение соленоидального векторного поля.