5.2. Примеры решения типовых задач

Пример 1. Собрание, на котором присутствует 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из 5 человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут 2 женщины и 3 мужчины.

Решение. Число всех способов выбора 5 человек из 25 равно , а число способов выбора двух женщин из 5 равно . Каждая такая двойка может сочетаться с каждой тройкой из 20 мужчин. Число таких троек равно . Искомая вероятность составляет

.

Пример 2. Слово «лотос», составленное из букв-кубиков, рассыпано на отдельные буквы, которые затем сложены в коробке. Из коробки наугад извлекают одну за другой три буквы. Какова вероятность того, что при этом появится слово «сто»?

Решение. Вероятность появления буквы «с» равна вероятность появления вслед за ней буквы «т» равна и, наконец, вероятность появления буквы «o» равна . Искомая вероятность

.

Пример 3. Случайно встреченное лицо с вероятностью 0,2 может оказаться брюнетом, с вероятностью 0,3 — блондином, с вероятностью 0,4 — шатеном и с вероятностью 0,1— рыжим. Каковая вероятность того, что среди пяти случайно встреченных лиц; а) не менее четырех блондинов; б) два блондина и три шатена; в) хотя бы один рыжий?

Решение. а) Искомая вероятность есть [см. формулу (1)]

.

б) Искомая вероятность есть

.

в) Искомая вероятность есть

.

Пример 4. Игральную кость подбрасывают 500 раз. Какова вероятность того, что шестерка при этом выпадет 50 раз?

Решение. Здесь , , , ;

; ; .

По формуле (2) находим искомую вероятность:

.

Пример 5. Пусть вероятность того, что покупателю необходимо купить обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 400 покупателей не более 100 потребуют обувь этого размера.

Решение. По условию, , , , , ; ; ; . Согласно формуле (3), искомая вероятность есть

.

Пример 6. Случайная непрерывная величина распределена нормально. Известно, что и . Найти .

Решение. По формуле (4) получим

.

Найдем . Имеем

откуда

.

Окончательно находим

.

Пример 7. Среднее квадратичное отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, равно 2; . Найти границы, и которых с вероятностью 0,95 следует ожидать значения случайной величины.

Решение. По формуле (5) имеем

.

Найдем границы интервала:

.

Пример 8. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии и по данным корреляционной таблицы 1.

Решение. Составим корреляционную таблицу (табл. 2) в условных вариантах, выбрав в качестве ложных нулей и .

Найдем и

;

.

Таблица 1

	4	9	14	19	24	29
10 20 30 40 50	2 -7 - - - 2	3 7 - - - 10	- 3 2 1 - 6	- - 50 10 4 64	- - 2 6 7 15	- - - - 3 3	5 10 54 17 14 =100

Таблица 2

	-3	-2	-1	0	1	2
-2 -1 0 1 2	2 - - - - 2	3 7 - - - 10	- 3 2 1 - 6	- - 50 10 4 64	- - 2 6 7 15	- - - - 3 3	5 10 54 17 14 =100

Найдем к :

;

.

Найдем и :

;

.

Найдем , для чего составим расчетную таблицу. Суммируя числа последнего столбца табл. 3, получим . Для контроля вычислений находим сумму чисел последней строки: .

Указания к составлению табл. 3. Произведения частоты на варианту , т. е. , записывают в крайнем верхнем углу клетки, содержащей частоту. Складывают все числа, помещенные в правых верхних углах клеток данной строки, и их сумму помещают в клетку этой же строки «столбца ». Умножают варианту на и полученное произведение записывают в соответствующую клетку «столбца ». Сложив все числа «столбца », получают сумму , которая равна искомой сумме . Для данной таблицы . Для контроля расчета аналогичные вычисления производят по столбцам: произведения записывают в левый нижний угол клетки, содержащей частоту; все числа, помещенные в левый нижних углах одного столбца, складывают и их сумму помещают в «строку ». Умножают каждую варианту на и результат записывают в клетках последней строки. Сложив все числа последней строки, получают сумму , которая также равна искомой сумме (в данном случае 72). По формуле (7) найдем искомый выборочный коэффициент корреляции:

.

Далее находим и , и , и :

;

;

;

;

;

.

Подставив найденные величины в формулу (6), получим

,

Или

.