4.4. Вопросы к экзамену
Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения.
Изложите метод решения дифференциального уравнения вида
.
Приведите пример.Изложите метод решения дифференциального уравнения вида
.
Приведите пример.Изложите метод решения дифференциального уравнения вида
.
Приведите пример.Дайте определение линейного дифференциального уравнения -го порядка (однородного и неоднородного).Докажите основные свойства частных решений линейного однородного дифференциального уравнения.
Дайте определение линейно зависимых и линейно независимых функций и приведите примеры. Докажите, что для линейно зависимых функций определитель Вронского равен нулю. Сформулируйте обратную теорему для линейно независимых решений (интегралов) однородного дифференциального уравнения.
Докажите теорему об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения.
Изложите метод нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если известно одно его частное решение. Приведите пример.
Выведите формулу для общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае действительных различных корней характеристического уравнения. Приведите пример.
Выведите формулу общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае равных корней характеристического уравнения. Приведите пример.
Выведите формулу для общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения. Приведите пример.
Докажите теорему об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.
Докажите, что сумма частных решений уравнений
и
является решением уравнения
.Изложите правило нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида
,
где
- многочлен степени
.Изложите правило нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида
.Что называется нормальной системой дифференциальных уравнений первого порядка? Сформулируйте задачу Коши для этой системы.
Изложите методы нахождения общего решения нормальной системы двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Выведите уравнение колебаний струны. Сформулируйте краевую задачу о колебаниях струны, закреплённой на концах.
Изложите метод Даламбера нахождения решения задачи Коши о колебаниях бесконечной струны.
Изложите метод Фурье нахождения решения краевой задачи о колебаниях струны, закреплённой на концах.
5. Элементы теории вероятностей
Л и т е р а т у р а: [4]. т. 2, гл. XX; [5], гл. XVIII.