4.2. Примеры решения типовых задач
Пример
1.
Найти общее решение уравнения
и частное решение,
удовлетворяющее начальному условию
.
Решение.
Перепишем
данное уравнение так: 
- и
рассмотрим однородное уравнение
.
Так как
(значение
не является решением неоднородного
уравнения), то
- общее решение однородного уравнения.
Применяем
далее метод вариации произвольной
постоянной
.
Общее
решение
неоднородного уравнения будем искать
в виде
;
.
Подставив значения
и
в неоднородное уравнение,
получим
.
Так
как
,
то
.
Подставив
это значение
в
общее решение неоднородного уравнения,
по лучим
-
общее решение неоднородного уравнения.
Для
нахождения частного решения подставим
значения
,
в общее
решение:
.
Значит,
- частное
решение неоднородного уравнения.
Пример
2.
Найти общее решение уравнения 2ху"'
= у" и частное решение,
удовлетворяющее начальным условиям
,
,
.
Решение.
Пусть
.
Имеем
.
Но
;
.
Следовательно,
-
общее решение дифференциального
уравнения.
Чтобы
найти частное решение, подставим в
выражения для
,
и
значение
:
;
;
.
Из
системы уравнений
;
находим
;
.
Значит,
искомое частное решение имеет вид
.
Пример
3.
Найти общее решение уравнения
и частное
решение, удовлетворяющее начальным
условиям
;
.
Решение.
Рассмотрим
однородное уравнение
.
Соответствующее
характеристическое уравнение имеет
вид
,
откуда
,
.
Следовательно,
общее
решение однородного уравнения.
Частное
решение неоднородного уравнения будем
искать в виде
.
Имеем
,
.
Подставим эти выражения в неоднородное уравнение
;
и получим систему для вычисления коэффициентов А и В:
.
Итак, частное решение неоднородного уравнения имеет вид
,
а общее решение неоднородного уравнения – вид
.
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
;
;
.
Искомое частное решение таково:
.
Пример 4. Найти общее решение системы
.
Решение. Перепишем систему в виде
.
Рассмотрим характеристическое уравнение:
;
.
Подставим найденные значения корней характеристического уравнения в систему линейных алгебраических уравнений относительно , .
Для
имеем
;
(второе
уравнение есть следствие первого).
Возьмем, например,
;
тогда
.
Полагая
,
найдем
;
.
Итак, для
получим
;
.
Для
имеем
;
(второе
уравнение есть следствие первого).
Возьмем, например,
;
тогда
.
Полагая
,
найдем
;
.
Итак, для
получим
;
.
Фундаментальная система решений:
для : ; .
для : ; .
Следовательно, общее решение системы имеет вид
;
.
Пример
5.
Дана струна, закрепленная на концах
,
.
Пусть в начальный
момент времени форма струны имеет вид
ломаной
,
изображенной
на рис. 5.
Рис. 5
Найти форму струны для любого момента времени, если
Решение. Из рисунка и условия задачи имеем
Находим
.
Интеграл
берем
по частям;
,
,
откуда
,
;
следовательно;
.
Итак,
Окончательно,
получим
.
Далее, находим
Окончательно
получим
.Таким
образом, искомая функция имеет вид:
.