Вопросы для самостоятельной работы

1. Что подразумевается под планами испытаний [Nur] и [NuT]

2. Какие еще существуют планы испытаний

3. Что такое гамма-процентный ресурс

4. Пояснить на примере, что из себя будет представлять ресурс в случае, если  = 90?

5. Что такое средний ресурс

6. В каких единицах может измеряться ресурс

7. Что такое точечные оценки показателей

8. Какие еще существуют оценки показателей

9. Что из себя представляет вариационный ряд

10. Что такое приостановленная наработка

11. Какие требования предъявляются к числу отказов при проведении ресурсных испытаний

12. Как поступают если отдельные значения ресурсов и приостановленных наработок совпадают

13. Что такое mi и как определяется?

14. Что такое ∆ и как определяется i?

15. Что такое Fi и как определяется?

16. Что такое pi и как определяется?

17. Если за 1-м ресурсом в вариационном ряду следуют подряд 2-й 3-й и т.д. ресурсы, какие значения mi для этих ресурсов следует ожидать в данном случае?

18. Если вариационный ряд начинается с ресурса, какие значения mi до первой приостановленной наработки следует ожидать в данном случае?

19. Если вариационный ряд начинается с приостановленной наработки, каким будет первый порядковый номер значения ресурса и, какими будут все следующие подряд в вариационном ряду порядковые номера значения ресурсов?

20. Если после нескольких попеременных чередований ресурсов и приостановленных наработок встречаются в вариационном ряду подряд несколько значений ресурсов, какие в этом случае будут их порядковые номера?

Практическое занятие №2 анализ экспериментальных данных. Расчет коэффициентов парной корреляции

Цель занятия – привить обучающимся практические навыки в расчетах коэффициентов парной корреляции для проведения исследований наличия линейной связи между двумя случайными величинами (СВ).

Задачи занятия:

1. Ознакомить обучающихся с основами корреляционного и регрессионного анализа, а также с методикой расчета коэффициентов парной корреляции.

2. Научить обучающихся самостоятельно проводить расчет коэффициентов парной корреляции с использованием персонального компьютера.

Теоретическая часть [2, 7, 16]

При анализе результатов экспериментальных данных по надежности часто приходится рассматривать распределение не только одной случайной величины (наработки на отказ), но и влияние на эту случайную величину другой случайной величины, т.е. приходится устанавливать, есть ли и какая взаимная связь двух случайных величин.

Если каждому значению хi соответствует определенное (может быть не одно) значение уi , то связь функциональная. Между случайными величинами кроме функциональной может существовать и стохастическая связь.

При стохастической связи одна из случайных величин реагирует на изменение другой или других случайных величин изменениями параметров закона распределения.

При оценке стохастической связи между двумя или несколькими случайными величинами определяют форму связи (криволинейная или прямолинейная) и силу или тесноту связи. Форма связи определяется регрессионным анализом, а теснота связи (степень взаимодействия) между случайными величинами – корреляционным анализом.

Стохастическую зависимость Y от X описывают условным математическим ожиданием (МОЖ).



Y(x) = M  Y / X = x =  y (y / x) dy. (2.5)

- 

В механической аналогии распределения, если единичная масса распределена на плоскости хоу с плотностью  (х, у), Y(x) есть ордината центра тяжести массы, распределенной на прямой Х = х.

Зависимость (2.5) дает наилучшее предсказание величины Y(x) по значению Х = х. Эта зависимость является линией регрессии. При исследовании линии зависимости (2.5) определяют форму связи случайных величин. Таким образом, регрессия Y по Х определяет изменение МОЖ Y при изменении Х.

Форма связи исследуемых величин зависит от физической сущности явления и может иметь вид прямой линии, параболы и т.д. Определение формы линии регрессии, соответствующей реальной форме зависимости, составляет принципиальный момент в изучении корреляции и регрессии. Глубокое знание исследуемых явлений, влияющих на отказы, зависимостей между этими влияниями способствует правильному выбору линии регрессии. Совершенно неправильно считать, что найденное (2.5) регрессионное уравнение (т.е. некоторая функциональная форма) будет наилучшим только потому, что оно дает хорошее приближение, хотя нисколько не соответствует реальным физическим или техническим связям. В любой регрессионной задаче в первую очередь следует рассматривать физически обоснованную конкретную функциональную форму независимо от того, была ли она получена с помощью аналитических выводов или благодаря какому-нибудь иному предварительному знанию свойств переменных. Вполне возможно, что для аппроксимации исследуемой функции понадобятся другие функциональные связи, даже если уже опробованные давали хорошее приближение.

Тесноту связи между случайными величинами при линейной корреляции оценивают корреляционным моментом (ковариацией) kxy и коэффициентом корреляции rxy .

Корреляционный момент представляет собой МОЖ произведения отклонений х и у от их МОЖ.

kxy = M (x – Mx) (y – My) . (2.6)

Так как kxy зависит от единиц измерения при изменении масштаба, то сам по себе он не может служить показателем связи. Поэтому рассматривают и связь нормированных отклонений

(x – Mx) / x и ( y – My) / y ,

в результате чего получают коэффициент корреляции

rxy = kxy / x y . (2.7)

Коэффициент корреляции может находиться в пределах

-1  rxy  1.

Чем ближе к нулю rxy, тем слабее линейная связь между величинами, чем  rxy ближе к единице, тем связь сильнее. При  rxy = 0 или близком к нулю линейная корреляционная связь отсутствует. При  rxy = 1 или близком к единице статистическая линейная связь становится функциональной.

Для проверки значимости коэффициента парной корреляции нужно сравнить его значение с табличным критическим значением r, приведенным в табл. 2.3 [7]. Если рассчитанное значение коэффициента корреляции больше или равно табличному, то есть основания полагать что между СВ существует линейная связь. Для использования табл. 2.3 необходимо знать число степеней свободы f = n – 2 и выбрать предельный уровень значимости α (доверительная вероятность), например равный 0,05.

Таблица 2.3

Критические значения коэффициента парной корреляции при α=0,05

Число степеней свободы f	Критическое значение r	Число степеней свободы f	Критическое значение r	Число степеней свободы f	Критическое значение r
1	0,997	9	0,602	17	0,486
2	0,95	10	0,576	18	0,444
3	0,878	11	0,553	19	0,433
4	0,811	12	0,532	20	0,423
5	0,754	13	0,514	21	0,349
6	0,707	14	0,497	22	0,273
7	0,666	15	0,482	23	0,217
8	0,632	16	0,468	24	0,195

Отсутствие линейной корреляционной связи не означает, что отсутствуют и другие формы связи. Криволинейная связь в этом случае может существовать и даже быть функциональной.

При криволинейной корреляционной связи теснота связи характеризуется корреляционным отношением xy

1 - xy = M {[ Y - Y(x)]} / y = [Y - Y(x)] /  . (2.8)

Из (2.8) следует, что -1 xy  1.

Преимущество корреляционного отношения перед коэффициентом корреляции состоит в том, что коэффициент корреляции оценивает тесноту связи лишь с линейной зависимости, а корреляционное отношение служит мерой тесноты связи любой формы, в том числе и линейной. Однако корреляционное отношение не позволяет определить конкретный вид кривой (гипербола, парабола, экспонента), наилучшего приближения экспериментальных данных.

Порядок корреляционного (регрессионного) анализа следующий:

1. для определения вида функции регрессии строят точки [x;Y(x)] и по их расположению делают предварительное заключение о примерном виде функции регрессии, при окончательном решении принимают во внимание особенности, вытекающие из физической сущности решаемой задачи;

2. в зависимости от вида функции регрессии используют формулы (2.6) или (2.8) для определения тесноты связи;

3. неизвестные параметры уравнения регрессии ищут методом наименьших квадратов (возможно также применение метода максимального правдоподобия);

4. полученные параметры подставляют в уравнение выбранного вида функции регрессии и получают искомое уравнение регрессии.

Такими методами по результатам эксплуатации оценена надежность грузовых автомобилей ЗИЛ-130 и КамАЗ-5320.

Параметр потока отказов и неисправностей , 1/100км, для автомобиля ЗИЛ-130:

 = -0,66 + 0,39 + 0,29 + 0,12kпр - 1310l^-4 + 16,8 + 6510i^-4 + 0,27П;

для автомобиля КамАЗ-5320:

 = -0,68 + 0,4 + 0,12 + 0,08kпр + 710l^-4 + 23,2 + 1210i^-3 + 0,19П,

где - коэффициент использования пробега, характеризующий коэффициент использования рабочего времени;

 - коэффициент использования грузоподъемности;

kпр - коэффициент использования прицепов;

l – длина ездки с грузом, км (при l 100км принято l= 100км);

 - коэффициент сопротивления качению;

i – среднее значение уклона дороги, ;

П – коэффициент помехонасыщенности маршрута.

Диапазоны изменения факторов:

Значение фактора……….  kпр l  i П

минимальное 0,45 0,75 0 15 0,014 3 1

максимальное 0,9 1,2 1,3 100 0,08 32 2

Значения  получены при коэффициенте множественной корреляции соответственно  = 0,89 и  = 0,93.

В нормативной документации на ремонт в качестве одного из показателей ремонтопригодности принята удельная трудоемкость

текущего ремонта Т10^-3 человеко-часов. По результатам обработки статистики получено для автомобиля ЗИЛ-130:

Т = 1,84 + 36,3 + 2510i^-3 + 0,94П;

Для автомобиля КамАЗ-5320:

Т = 3,1 + 68 + 0,057i + 0,96П.

В качестве основного показателя долговечности в нормативной документации принят ресурс автомобиля до капитального ремонта Lкр тыс. км. Для автомобиля ЗИЛ-130 получено

Lкр = 398 - 1645 - 1,17i – 43,7П.

По приведенным регрессионным зависимостям подсчитаны значения параметра  потока отказов и неисправностей, трудоемкости Т текущего ремонта и ресурса Lкр автомобилей до капитального ремонта при средних значениях эксплуатационных факторов для автомобилей ЗИЛ-130 и КамАЗ-5320:

Автомобиль  Т Lкр

ЗИЛ-130 1,33 5,88 213

КамАЗ-5320 1,4 9,24 -