3.1.3. Дифференциал функции

Итак, график дифференцируемой функции в окрестности каждой своей точки сколь угодно близко приближается к графику касательной в силу равенства:  где α – бесконечно малая в окрестности   функция. Для приближенного вычисления значения функции f в точке x₀ + Δx эту бесконечно малую функцию можно отбросить: 

Линейную функцию   называют дифференциалом функции f в точке   и обозначают df. Для функции x производная в каждой точке   равна 1, то есть   Поэтому пишут: 

Приближенное значение функции вблизи точки   равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать производную следующим образом: 

Часто эту запись используют, чтобы уточнить, по какой переменной дифференцируется функция.

Модель 3.3. Дифференциал функции

Геометрически дифференциал функции df – это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx.

Дифференцирование сложной функции. Дифференцирование обратной функции.

Пусть функция u=g(x) определена на множестве X и U — область ее значений.  Пусть, далее, функция y=f(u) определена на множестве U.  Поставим в соответствие каждому x из X число f(g(x)).  Тем самым на множестве X будет задана функция y=f(g(x)).  Ее называют композицией функций или сложной функцией.

Если известна производная функции f(x), то производную сложной функции f(u) можно вычислить с помощью следующей формулы:

(f(u))'=f '(u)⋅u'

 

Пример:

1) Вычислить производную функции (x+2)10. Обозначим u=x+2.

Так как (x10)'=10x9, то((x+2)10)'=(u10)'=10u9⋅u'=10(x+2)9⋅1=10(x+2)9

 

2) Вычислить производную функции f(x)=sin(cos x). Обозначим u=cos x.

(sin x)'=cos x, поэтому

(sin(cos x))'=(sin u)'=cos u⋅u'==cos(cos x)⋅(cos x)'==cos(cos x)⋅(−sin x)==−cos(cos x)⋅sin x

 

3) Вычислить производную функции ln cos x2. Обозначим u=cos x2.

(ln x)'=1x, поэтому (ln cos x2)'=(ln u)'=1u⋅u'=u'u=(cos x2)'cos x2.

Таким же образом вычислим производную функции cos x2. Снова обозначим u=x2.

(cos x2)'=(cos u)'=−sin u⋅u'=−sin x2⋅(x2)'=−2x sin x2.

Далее, вставив полученное выражение, получается

 (ln cos x2)'=−2x sin x2cos x2 = −2x tg x2

Используя правило дифференцирования сложной функции, можно обосновать правило дифференцирования обратной функции.

Зная производную функции y=f(x), можно производную обратной функции x=g(y)найти по формуле:

xy′=1yx′

(разумеется, при условии, что f′(x)≠0).

Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях

1. Составьте формулу, дающую при малых абсолютных значениях величин x, y, z приближённое выражение  Решение: Так как найти полный дифференциал легче, чем полное приращение функции, то в вычислениях используют приближенную формулу: где Представлю заданное выражение в виде: ,где x=1; y=1 и z=1, а x, y и z заменю на Δx, Δy и Δz  Для приближённого вычисления значения функции трёх переменных можно использовать формулу: Получу приближённое значение (x=1, y=1, z=1): Для исходного выражения получим результат:

Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций.

 

Теорема Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют в точке x производные, то сумма (разность), произведение и частное этих функций также имеют производные в этой точке, и справедливы следующие формулы: 1) (u±v)/=u/±v/ , 2) (u·v)/=u/v+v/u , 3) (vu)=v2u/v−v/u .

Доказательство Из определения производной:

(u±v)/=limΔx→0Δx[u(x+Δx)±v(x+Δx)]−[u(x)±v(x)]= =limΔx→0Δx[u(x+Δx)−u(x)]±[v(x+Δx)−v(x)]=  .    

=limΔx→0Δxu(x+Δx)−u(x)±limΔx→0Δxv(x+Δx)−v(x)=u/±v/

(u·v)/=limΔx→0Δxu(x+Δx)·v(x+Δx)−u(x)·v(x)±v(x+Δx)·v(x)= limΔx→0Δxu(x+Δx)[v(x+Δx)−v(x)]+      

+limΔx→0Δxv(x)[u(x+Δx)−u(x)]=uv/+vu/.

(vu)/=limΔx→0Δxv(x+Δx)u(x+Δx)−v(x)u(x)=limΔx→0Δx·v(x+Δx)·v(x)u(x+Δx)·v(x)−u(x)·v(x+Δx)±u(x)·v(x)=v2u/v−v/u.