Число е

ЧИСЛО e. Число, приближенно равное 2,718, которое часто встречается в математике и естественных науках. Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e^–kt, где k – число, характеризующее скорость распада данного вещества. Обратная величина 1/k называется средним временем жизни атома данного вещества, так как в среднем атом прежде, чем распасться, существует в течение времени 1/k. Величина 0,693/k называется периодом полураспада радиоактивного вещества, т.е. временем, за которое распадается половина исходного количества вещества; число 0,693 приближенно равно log_e 2, т.е. логарифму числа 2 по основанию e. Аналогично, если бактерии в питательной среде размножаются со скоростью, пропорциональной их числу в настоящий момент, то по истечении времени t начальное количество бактерий Nпревращается в Ne^kt. Затухание электрического тока I в простом контуре с последовательным соединением, сопротивлением R и индуктивностью Lпроисходит по закону I = I₀e^–kt, где k = R/L, I₀ – сила тока в момент времени t = 0. Аналогичные формулы описывают релаксацию напряжений в вязкой жидкости и затухание магнитного поля. Число 1/kчасто называют временем релаксации. В статистике величина e^–ktвстречается как вероятность того, что за время t не произошло событий, наступающих случайно со средней частотой k событий в единицу времени. Если S – сумма денег, вложенных под r процентов с непрерывным начислением вместо начисления через дискретные промежутки времени, то к моменту времени t первоначальная сумма возрастет до Se^tr/100.

Причина «вездесущности» числа e заключается в том, что формулы математического анализа, содержащие экспоненциальные функции или логарифмы, записываются проще, если логарифмы брать по основанию e, а не 10 или какому-либо другому основанию. Например, производная от log₁₀ x равна (1/x)log₁₀ e, тогда как производная от log_e x равна просто 1/x. Аналогично, производная от 2^x равна 2^xlog_e 2, тогда как производная от e^хравна просто e^x. Это означает, что число e можно определить как основаниеb, при котором график функции y = log_b x имеет в точке x = 1 касательную с угловым коэффициентом, равным 1, или при котором кривая y = b^x имеет в x = 0 касательную с угловым коэффициентом, равным 1. Логарифмы по основанию e называются «натуральными» и обозначаются ln x. Иногда их также называют «неперовыми», что неверно, так как в действительности Дж.Непер (1550–1617) изобрел логарифмы с другим основанием: неперов логарифм числа x равен 10⁷ log_1/e (x/10⁷) (см. также ЛОГАРИФМ).

Различные комбинации степеней e встречаются в математике так часто, что имеют специальные названия. Таковы, например, гиперболические функции

График функции y = ch x называется цепной линией; такую форму имеет подвешенная за концы тяжелая нерастяжимая нить или цепь. Формулы Эйлера

где i² = –1, связывают число e с тригонометрией. Частный случай x = приводит к знаменитому соотношению e^i + 1 = 0, связывающему 5 наиболее известных в математике чисел.

При вычислении значения e могут быть использованы и некоторые другие формулы (чаще всего пользуются первой из них):

Значение e с 15 десятичными знаками равно 2,718281828459045. В 1953 было вычислено значение e с 3333 десятичными знаками. Символ e для обозначения этого числа был введен в 1731 Л.Эйлером (1707–1783).

Десятичное разложение числа e непериодично (e – иррациональное число). Кроме того, e, как и , – трансцендентное число (оно не является корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами). Это доказал в 1873 Ш.Эрмит. Впервые было показано, что столь естественным образом возникающее в математике число является трансцендентным. См. также МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ;НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ; ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ; ЧИСЛО p; РЯДЫ.

Критерий Коши сходимости последовательности

Из определения сходимости последовательности   к точке a вытекает, что для любого   интервалом длиной 2  можно накрыть всю эту последовательность, исключением может быть конечное число ее элементов, если середину интервала поместить в точке  . Справедливо и обратное : если последовательность   такова, что для любого  можно накрыть всю эту последовательность, исключая может быть конечное число ее элементов, поместив центр интервала в некоторую точку, то она сходится. Сформулируем это утверждение более точно.

Определение. Подпоследовательность   называется последовательностью Коши или фундаментальной, если 

Теорема ( Критерий Коши ). Для того, чтобы последовательность   сходилась, необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной.

Доказательство:

Необходимость. Пусть   сходится. 

Достаточность. Пусть   - фундаментальная последовательность. Докажем, что она ограничена и  .

Так как последовательность фундаментальна, то  , в  -окресности которой существуют все элементы  .

Предположим,  .

В отрезке [A, -A] содержатся все элементы последовательности, т.е.   - ограничена.

Вследствие теоремы Больцано-Вейерштрасса ( ) < ( ).

 в силу произвольности 

Категория: