1.4. Методи обчислення інтегралів

• Безпосереднє інтегрування

Безпосереднє інтегрування, це метод, який полягає в прямому застосуванні табличної формули і властивостей невизначеного інтеграла.

Приклад 1.

Використали формулу .

Приклад 2. .

Для знаходження цього інтеграла використано формулу

.

Приклад 3. .

В даному випадку, після елементарних перетворень, інтегруємо за формулою .

• Метод розкладу

Метод розкладу полягає в тому, що інтеграл розкладають на суму ( різницю ) табличних інтегралів.

Приклад 4.

.

При інтегруванні цього виразу враховано те, що сталий множник виноситься за знак інтеграла, а також те, що сума довільних сталих інтегрування є теж стала і її записують як одну.

• Метод підстановки ( метод заміни змінної).

Метод полягає в тому, що вводиться нова змінна , або . Вдалою заміною часто вдається суттєво спростити інтеграл і навіть звести його до табличного.

Нехай - диференційована функція від t, похідна якої зберігає знак на проміжку інтегрування.

Формулу заміни змінної одержуємо на основі властивості інваріантності невизначеного інтеграла (теорема 8) і, врахувавши, що . Для доведення продиференціюємо праву і ліву частини формули

.

. Формула доведена.

Приклад 5. Знайти .

Розв’язування. При інтегруванні даного виразу вводимо заміну t=cos(x-3). Тоді dt=dcos(x-3)= -sin(x-3)dx. Одержуємо .

Приклад 6. Знайти .

Розв’язування. Вводимо заміну . Визначаємо . Врахувавши, що , одержуємо .

Розглянемо ще дві важливі формули, які суттєво пришвидшують інтегрування: (6.17)

та . (6.18)

Виведемо їх. Якщо і - лінійна функція від х, то . Підставивши в вираз для інтеграла, одержимо .

З останньої рівності випливає, що

.

Друга формула виводиться на основі формули

з врахуванням того, що .

Приклад 7. ,

Приклад 8. Знайти .

Розв’язування. .

• Метод інтегрування частинами

Нехай задано дві неперервно диференційовані функції u(x) i v(x). Розглянемо диференціал добутку: Проінтегруємо цей вираз . Перетворивши одержуємо формулу інтегрування за частинами:

. (6.19)

Застосовуючи цю формулу, підінтегральний вираз подають у вигляді добутку множників і . Для даного методу має велике значення правильний вибір функцій u і v. Необхідно, щоб множник був виразом, який інтегрується. Є декілька видів інтегралів, для яких правила вибору функцій u і v відомі.

а) , , .

Підінтегральний вираз містить добуток многочлена на тригонометричну, або многочлена на показникову функції. Вибираємо за многочлен, а за - вираз, що залишився.

Приклад 9. Обчислити .

Розв’язування. Застосовуємо метод інтегрування за частинами (6.19): . Вибираємо: u=x, dv=sin3xdx.

Тоді du=dx, v= cos3x. Одержуємо

.

б) , , ,

, .

Підінтегральний вираз - добуток многочлена на логарифмічну

або многочлена на аркфункцію. За dv беремо добуток многочлена на dx, а за u логарифмічну або аркфункцію.

П риклад 10. Обчислити

Розв'язування. За u беремо , за dv - dx. Тоді , а v=x, і за формулою інтегрування за частинами

в) , .

В цьому випадку вибір u і v несуттєвий.

Приклад 11. Знайти

Розв'язування. Виберемо u= , а dv= . Тоді , Отже

,

- інтегруємо за частинами. Знову виберемо u= . Тоді , . Одержуємо .

Шуканий інтеграл є в правій і в лівій частинах рівності. Визначимо його: .

Отже

Такі інтеграли інколи називають циклічними або коловими. При їх інтегруванні обов'язково за u двічі вибирати ту ж саму функцію.

Зауваження: В випадку, якщо підінтегральний вираз є добутком многочлена на одну з розглянутих функцій, можна інтеграл розкласти на суму декількох інтегралів. Наприклад,

.