Розділ 6. Інтегральне числення функцій

ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Одним з основних завдань розділу ІV диференціальне числення функцій однієї змінної, є завдання знаходження похідної від заданої функції. Розділ математики, який розв’язує обернену задачу – знаходження функції за її похідною (інтегрування), а також інші задачі, які безпосередньо зв’язані з інтегруванням називається інтегральним численням. Предметом вивчення даного розділу є інтеграли: визначений, невизначений, поверхневий, криволінійний, подвійний, потрійний і інші, їхні властивості, методи знаходження, їх застосування до розв’язування різних задач.

Інтегральне числення практично виникло із задач обчислення площ і об’ємів різних фігур і тіл. Вперше такі задачі намагались розв’язати вчені Стародавньої Греції (Евдокс Кнідський, Архімед та ін.). В ХVІ - ХVІІ ст.., інтенсивний промисловий розвиток в Європі привів до розвитку інтегрального числення та його застосування. Праці вчених І. Кеплера, Б. Кавальєрі, П. Ферма, Е. Торрічеллі, Дж. Валліса, Б. Паскаля, Х. Гюйгенса поглибили теоретичні основи інтегрального числення. Вчені І. Ньютон та Г. Лейбніц створили ряд загальних методів знаходження інтегральних сум. Їх праці багато задач інтегрального числення звели до суто технічного рівня. Г. Лейбніц ввів зручну символіку, яка застосовується і тепер. А формула Ньютона-Лейбніца, яка зв’язала невизначений і визначений інтеграли, є центральною формулою інтегрального числення. Подальший історичний розвиток інтегрального числення пов’язаний з іменами І. Бернуллі, Л. Ейлера, П. Чебишева, О. Коші, В. Буняковського. Суттєвими для розвитку інтегрального числення є роботи видатного українського математика М.В. Остроградського. (12.09.1801-20.12.1861, народився в с. Пашенівка, Козельського р-ну Полтавської обл.),. Навчався в Харківському університеті, де його вчителями були Т.Ф. Осиповський та А.Ф. Павловський. Під час перебування в Парижі слухав лекції А.М.Ампера, О.Л.Коші, П.С.Лапласа, С.Д.Пуассона, Ж.Б.Ж.Фур’є. Друг В.Я.Буняковського. Перебуваючи в Петербурзі потоваришував з Т. Г. Шевченком. Основні праці М.В. Остроградського стосуються математичної фізики, математичного аналізу (формула зв’язку інтеграла по об’єму з інтегралом по поверхні, принцип розкладності функцій в ряд за власними функціями, принцип локалізації для тригонометричних рядів, правило перетворення змінних в подвійних інтегралах, метод інтегрування раціональних функцій і ін.), теоретичної механіки. Розв’язав деякі задачі з теорії чисел, алгебри, диференціальних рівнянь, теорії рядів.

§ 1. Невизначений інтеграл

1.1. Первісна функція та невизначений інтеграл

Задача знаходження для функції f(x) такої функції F(x), що є основною задачею інтегрального числення. Операція інтегрування (знаходження інтегралу) є оберненою операцією до диференціювання ( знаходження похідної). Термін інтеграл походить від латинського integer – цілий. Деколи вживають термін – антипохідна.

Означення 1. Функція F(x) називається первісною для функції f(x), якщо для довільного х з області визначення f(x),

або (6.1)

Наприклад,

а) для первісною є тому, що

б) для , - тому що

Відшукання первісної є операція неоднозначна. Так і і т.д.і взагалі, де С - довільне стале число є первісні для .

ТЕОРЕМА 1. Якщо та - дві первісні для функції f(x) на відрізку то різниця між ними дорівнює сталому числу.

Доведення. Нехай і . Тоді , а значить, за наслідком з теореми Лагранжа про скінченні прирости, що

, або . (6.2)

Означення 2. Сукупність усіх первісних для функції f(x) називається невизначеним інтегралом від цієї функції і позначається . (6.3)

При цьому , f(x) - називається підінтегральною функцією, -підінтегральним виразом, - знак невизначеного інтеграла.

Операція відшукання первісної для даної функції називається інтегруванням. Таким чином, невизначений інтеграл - це множина всіх функцій, похідна яких дорівнює підінтегральній функції, а диференціал дорівнює підінтегральному виразу.

Базовою для інтегрального числення є така теорема:

Т ЕОРЕМА 2. Якщо функція неперервна, то для неї існує первісна, отже і невизначений інтеграл.

(Доводиться в фундаментальних курсах вищої математики). З геометричної точки зору невизначений інтеграл - це сім’я кривих, кожна з яких утворюється зсувом однієї з них паралельно собі вверх або вниз. (мал. 1)