§ 6. Повний приріст та повний диференціал функції багатьох змінних

Нехай z=f(x,y) - функція двох змінних. Надамо обом змінним прирости відповідно Δx і Δy, тоді функція z отримає приріст який називається повним приростом функції.

Відомо, що для функції y=φ(x), яка має похідну , приріст функції можна зобразити у вигляді

(5.8)

де ε→0, якщо Δx→0.

Тоді головна лінійна частина приросту функції називається диференціалом функції dy=φ′(x)Δx= φ′(x)dx.

В випадку функції двох або більше змінних наявність частинних похідних ще не гарантує того, що повний приріст функції

можна представити в виді, аналогічному (5.8).

Означення 6 .Функція z=f(x,y) називається диференційовною в даній точці якщо її повний приріст в цій точці можна представити в виді:

(5.9)

де при а і не залежать від приростів

Доданки і є, очевидно, нескінченно малими величинами вищого порядку малості, ніж і

Означення 7. Повним диференціалом функції називається головна лінійна частина приросту функції відносно і , тобто: або

ТЕОРЕМА 1. Якщо функція диференційовна в даній точці , то існують частинні похідні цієї функції і має місце рівність тобто

. (5.10)

Доведення. Нехай функція диференційовна. Тоді має місце формула (5.9). Покладемо тоді із (5.9) отримаємо

звідки , де якщо

Оскільки - стала величина ( і фіксовані), то

Аналогічно доводиться, що Таким чином, формула (5.10) доведена.

Нехай задана функція Можна довести, по аналогії з функцією що в випадку диференційовності функції має місце формула

(5.11)

Навпаки, якщо допустити , що функція має частинні похідні, які є неперервними функціями по сукупності змінних в околі точки M(x₁,x₂,…,x_n ) то справедлива формула (5.11).

§7. Частинні похідні вищих порядків

Оскільки частинні похідні першого порядку функції знову є функціями від і , то від них можна ще раз знайти похідні. Таким чином, приходимо до поняття частинних похідних другого порядку, які визначаються за формулами:

(5.12)

Похідні і називаються мішаними частинними похідними другого порядку. Для них справедлива рівність (при умові, що вони неперервні по і )

Для позначення частинних похідних другого порядку вживають також символи:

Звідси випливає спосіб знаходження частинних похідних другого порядку: щоб знайти частинні похідні другого порядку, треба знайти частинні похідні першого порядку даної функції, а потім від цих похідних знайти відповідні частинні похідні першого порядку.

Таким же способом, як введено похідні другого порядку , можна ввести похідні третього порядку і т.д.

Наприклад:

Приклад 1. Знайти частинні похідні другого порядку функції Перевірити, чи рівні мішані частинні похідні між собою.

Розв’язування. Знаходимо частинні похідні першого порядку:

291