§2. Лінії та поверхні рівня. Гіперповерхні рівня

2.1. Поняття лінії та поверхні рівня

Для характеристики функцій двох змінних вводиться поняття ліній рівня.

Означення 2. Лінією рівня функції z=f(x,y) називається сукупність всіх точок на площині xOy, для яких виконується умова

Лінії рівня можна отримати, перетнувши поверхню площинами де

Приклад 1. Знайти лінії рівня функції

Р озв’язування.

Нехай z=C. x²+y²=C (C≥0),

У цьому випадку лініями рівня є множина концентричних кіл з центром у початку координат і радіусом (мал.2).Аналогічно вводиться поняття поверхні рівня для функції трьох змінних , .

Приклад 2. Знайти поверхні рівня функції .

Розв’язування. Нехай Тоді . ( ) –

це множина сфер з центром у точці і радіусом

2.2. Поверхні другого порядку

Найбільш вивчені поверхні в курсі аналітичної геометрії – поверхні другого порядку. В загальному випадку рівняння такої поверхні має вигляд.

Залежно від значень коефіцієнтів одержують різні поверхні другого порядку.

Наприклад:

1. 

- конус;

2. 

- напівсфера;

3 ) -

еліптичний параболоїд;

4 )

-гіперболічний параболоїд;

5)

-трьохосний

еліпсоїд.

Для вивчення поверхонь в трьохвимірному просторі застосовується метод перерізів. Суть цього методу така: перерізаємо задану поверхню площинами. В результаті отримуємо деякі криві, які характеризують поверхню.

Приклад 3. Нехай Отримаємо рівняння ( рівняння кола). Покладемо тоді - рівняння параболи в площині , яка зміщена на одиниць вверх по осі . Покладемо Отримаємо рівняння Одержали рівняння параболи в площині , яка зміщена на одиниць вверх по осі З цих досліджень випливає, що графіком функції є параболоїд обертання навколо осі

2.3. Гіперповерхня рівня

Нехай задана функція від змінних Якщо покласти то одержимо рівняння яке називається рівнянням гіперповерхні рівня в просторі . Наприклад: Якщо то рівняння є рівнянням гіперсфери в з центром в точці і радіусом .

§3. Границя функції двох змінних в точці. Неперервність функції двох змінних

3.1. Границя функції двох змінних

Д ля функції двох змінних можна ввести поняття границі та неперервності в точці Нехай функція задана в околі точки (мал. 8). Під - околом точки будемо розуміти множину точок площини які задовольняють нерівностям або

Означення 3. Число називається границею функції при якщо для будь-якого існує таке , що як тільки то

Символічно це можна записати так: (5,1)

Очевидно, що границя функції не повинна залежати від способу наближення точки до точки

Приклад 1. Знайти границю функції в точці О(0;0).

Розв’язування. Знайдемо спочатку границю функції, коли

Тепер знайдемо границю функції, коли

Очевидно, що в цьому випадку границя функції не існує, тому що при наближенні до точки з різних напрямків отримуються нерівні границі.