4.4. Частинні похідні функції багатьох змінних

Ми розглянули випадок функції двох змінних. Для функції означення частинних похідних вводиться аналогічно і знаходиться частинних похідних:

Очевидно, що для функцій багатьох змінних можна використовувати відомі правила диференціювання, включаючи таблиці похідних, які отримані для функцій однієї змінної.

§5. Градієнт функції багатьох змінних. Похідна функції по напрямку

5.1. Градієнт функції багатьох змінних

Означення 5. Градієнтом функції називається вектор

(5,5)

Аналогічно для функції

(5.6)

Відповідно вводимо градієнт функції

. (5.7)

Скорочено градієнт функції позначимо через .

5.2. Похідна складної функції

Відомо, що для похідної складної функції однієї змінної де має місце формула

.

Узагальнимо цю формулу на випадок функції двох змінних Нехай задана диференційовна функція , яка має неперервні частинні похідні і . Допустимо , що аргументи і є в свою чергу диференційовними функціями від третьої змінної Ясно, що функція є складною функцією від змінної : .

Знайдемо похідну цієї функції по змінній . Для цього надамо приросту аргументу і знайдемо повний приріст функції , якщо аргументи і набувають відповідно приростів і :

.

Перепишемо цей приріст в іншому вигляді:

.

Застосуємо тепер теорему Лагранжа про скінчені прирости відповідно до першої і другої квадратних дужок. Тоді отримаємо:

.

Допустимо тепер, що частинні похідні неперервні по сукупності змінних і , тоді:

Таким чином,

.

Тепер згідно означення похідної знаходимо:

.

Перейшовши до границі при і враховуючи, що , отримаємо формулу:

.

Ця похідна називається повною похідною функції по аргументу . Аналогічно вводиться формула повної похідної для функції

,

де .

Поняття похідної функції можна узагальнити, якщо ввести похідну функції по напрямку.

5.3. Похідна функції по напрямку

Нехай функція задана в деякій замкнутій області площини .

Нехай в цій області задана точка . Надамо приросту аргументам відповідно і , тоді отримаємо точку . Розглянемо вектор .

Позначимо через кут, який утворює вектор з віссю , а через - довжину цього вектора. Тоді можна записати:

або

Таким чином: Значення функції

в точках і відповідно будуть такі:

і .

Звідси випливає, що коли зафіксувати точку і напрямок вектора і міняти тільки , то функцію можна записати у вигляді , а її значення в точках і

відповідно і Таким чином

Згідно означення похідної функції однієї змінної, похідна функції по змінній дорівнює

.

Цю границю назвемо похідною функції по даному напрямку. Виходячи із викладеного вище, функцію можна вважати складною функцією по . Її повна похідна по дорівнює

.

Але , тому

Цю формулу можна узагальнити на випадок функції трьох змінних . В цьому випадку напрямок задається вектором і формула диференціювання по напрямку відповідно матиме вид

.

Встановимо зв’язок між похідною функції по напрямку і градієнтом цієї функції. Для цього розглянемо вектори

і .

Помножимо скалярно вектор на вектор , отримаємо:

. Таким чином ,

. Згідно з означенням скалярного добутку .

Із цієї формули випливає, що у випадку, коли напрямок вектора співпадає з напрямком вектора

.

Висновок. Похідна функції z=f(x,y) має найбільше значення по напрямку градієнта і дорівнює модулю градієнта .

Приклад 3. Обчислити градієнт функції в точці M₀(3,4).

Розв’язування. Знаходимо частинні похідні функції

;

Обчислимо їх значення в даній точці:

; .

Таким чином