3.2. Неперервність функції двох змінних в точці

Означення 4. Функція називається неперервною в точці якщо вона задана в цій точці та деякому її околі і виконується умова

(5.2)

Для неперервних функцій двох змінних справедливі ті ж теореми, що і для функції однієї змінної.

Приклад 2. Дослідити на неперервність функцію

в точці

Розв’язування.Знайдемо повторні границі:

Будемо наближатись до точки О(0,0) по довільній прямій y=kx,

тоді:

З того, що всі границі рівні і співпадають із значенням функції в точці , випливає неперервність функції в цій точці.

Аналогічно вводимо поняття границі та неперервності в точці для функції

§4. Частинні похідні функції багатьох змінних. Геометричний та економічний зміст частинних похідних

4.1. Частинні похідні першого порядку

Розглянемо функцію двох змінних Нехай вона задана в точці і в деякому околі цієї точки. Покладемо а значенню надамо приросту Тоді частинний приріст по матиме вигляд

Складемо тепер відношення частинного приросту функції до приросту аргументу і знайдемо границю . Якщо така границя існує, то ми назвемо її частинною похідною першого порядку функції по і позначимо або :

(5.3)

Аналогічно вводиться поняття частинної похідної першого порядку по . У цьому випадку фіксуємо значення а значенню надаємо приросту Тоді і відповідно

(5.4)

Із означення частинних похідних випливає таке правило диференціювання: щоб знайти частинну похідну функції по , вважаємо постійною величиною, а - змінною. Щоб знайти частинну похідну по вважаємо постійною величиною, а - змінною.

4.2. Геометричний зміст частинних похідних

Частинним похідним першого порядку можна дати геометричну інтерпретацію по аналогії з геометричним змістом похідної для функції однієї змінної.

Н ехай функція зображується в просторі деякою поверхнею. Спроектуємо точку цієї поверхні на площину і отримаємо точку (мал.9).

При знаходженні покладемо , тоді будемо мати z=f(x,y₀). Ця функція однієї змінної має графіком криву AB, яка розміщена в площині y=y₀. З геометричної точки зору частинна похідна в точці дорівнює (по аналогії з функцією однієї змінної), оскільки дотична MS до кривої AB утворює з віссю Ox кут α.

Таким чином

Перетнемо тепер поверхню площиною . Отримаємо функцію , графіком якої є крива . Тоді дотична в точці до кривої утворює з віссю кут . Тому

Приклад 1.. Знайти частинні похідні функції

Розв’язування. Використовуємо табличну похідну

Аналогічно

4.3. Економічний зміст частинних похідних

Відповідним чином можна надати економічного змісту частинним похідним.

Розглянемо в якості прикладу функцію Кобба-Дугласа

Величину будемо називати середньою продуктивністю праці (кількість продукції, виробленої одним робітником).

Величину будемо називати середньою фондовіддачею (кількість продукції, що вироблена одним верстатом).

Величину назвемо середньою фондоозброєністю (фондоозброєність - це вартість фондів, що припадають на одиницю трудових ресурсів).

Зафіксуємо біжучий стан підприємства, тобто об’єм фондів і число працівників . Їм відповідає випуск продукції . Якщо найняти ще одного працівника, то приріст випуску продукції

.

А це є частковий приріст функції по і тому

Оскільки то .

Отже, частинна похідна від виробничої функції по об’єму трудових ресурсів приблизно рівна додатковій вартості продукції, що вироблена ще одним робітником. Тому похідна

називається граничною продуктивністю праці.

Якщо ж збільшити фонди ще на одиницю – купити ще один верстат, то додаткова вартість продукції, що вироблена на ньому, приблизно дорівнює частинній похідній виробничої функції по об’єму фондів. Тоді

називається граничною фондовіддачею.

І гранична продуктивність праці, і гранична фондовіддача – це абсолютні величини. Але в економіці надзвичайно цікаво знати на скільки відсотків зміниться випуск продукції, якщо число робітників збільшиться на 1%, або якщо фонди зростуть на 1%. Тому розглядаються поняття еластичності випуску продукції по об’єму трудових ресурсів і еластичності випуску продукції по фондах:

Звідси маємо економічний зміст параметрів функції Кобба-Дугласа.

- еластичність випуску по фондах;

- еластичність випуску по праці.

Приклад 2. Нехай виробнича функція є функцією Кобба-Дугласа. Щоб збільшити випуск продукції на 5% треба збільшити фонди на 10% або чисельність робітників на 15%. В 2001 році один робітник виготовляв продукцію на 2000 грн., а всього робітників 1000. Основні фонди оцінювались в 4 млн.грн. Записати виробничу функцію, величину середньої фондовіддачі і середньої продуктивності праці.

Розв’язування. Зрозуміло, що еластичність випуску продукції по праці , а по фондах . Отже, функція Кобба-Дугласа має вид , . Підставляючи інші величини, отримаємо:

, тобто

.

Отже, виробнича функція Середня фондовіддача рівна , а середня продуктивність