Розділ 5. ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

§1. Основні поняття про функції багатьох змінних

Вивчення зв’язків і закономірностей, які існують в матеріальному світі, часто приводять до функції не однієї, а багатьох змінних. Ці функції дозволяють виражати більш складні залежності, ніж функції однієї змінної. Тому теорія функцій багатьох змінних має широке практичне застосування в різних галузях.

1. Означення функції багатьох змінних.

Функція двох змінних та її графічне зображення

Змінні називаються незалежними між собою, якщо кожна із них може приймати довільні значення в своїй області зміни незалежно від того, які значення приймають при цьому інші змінні.

Означення 1. Функцією багатьох змінних називається така закономірність, при якій змінним із деякої множини ставиться у відповідність одне значення із множини .

Наприклад:

Множина називається областю визначення функції

а множина - область значень цієї функції. Наприклад, функція задана для всіх і , для яких виконується нерівність У даному випадку областю визначення функції є круг на площині з центром в точці і радіусом R=3 Область значень цієї функції .

Ч астинним випадком функції багатьох змінних є функція двох змінних для якої можна дати поняття графіка функції. В загальному випадку графіком такої функції є поверхня у трьохвимірному просторі R³

Приклад 1. Графіком цієї функції є параболоїд обертання (мал.1).

1.2. Економічні задачі, що приводять до поняття функцій багатьох змінних

Приведемо приклади конкретних функцій багатьох змінних, які зустрічаються в економічних задачах.

Приклад 2. Нехай підприємство випускає тільки один товар і на його випуск затрачається тільки одна сировина (один ресурс). Підприємство характеризується повністю своєю виробничою функцією y=f(x) залежність об’єму випущеного товару від об’єму затраченої сировини Така виробнича функція називається одноресурсною.

Якщо на виробництво продукції певного типу витрачається багато видів сировини (ресурсів) х₁,х₂,...,х_nто така виробнича функція називається багаторесурсною або багатофакторною:

Найбільш відомою виробничою функцією є функція

Кобба-Дугласа , де - невід’ємні константи, причому ;

K- об’єм фондів в вартісному або натуральному вираженні;

L- об’єм трудових ресурсів – число працівників, число

людино-днів;

y- випуск продукції в вартісному або натуральному виразі. На цьому прикладі видно, що функція Кобба-Дугласа є функцією двох незалежних змінних K і L.

Приклад 3. Розглянемо основне рівняння класичної кількісної теорії грошей, яке називається рівнянням обміну Фішера:

MV=PY

даному рівнянні будь-яка із змінних M,V,P,Y може розглядатися як функція трьох змінних, де

M - це загальна кількість грошей, наявних в обороті;

V - швидкість їх обороту (скільки раз кожна гривня

бере участь в розрахунках в середньому за рік);

Y- національний продукт або дохід (національний продукт

– це всі готові товари і послуги, що виготовлені в економічній

системі у вартісному виразі; національний дохід – це всі виплати,

одержані домашніми господарствами: заробітна плата, рента, прибуток; національний продукт і національний дохід чисельно рівні);

- рівень цін (середнє зважене значення цін готових товарів і послуг, що визначені відносно базового показника, прийнятого за одиницю).

Нехай - тобто ціна є функцією трьох незалежних змінних. Тоді із збільшенням грошової маси (кількості грошей) в декілька разів (тобто гроші просто надрукують), ціни зростуть в стільки ж разів, при умові, що інші величини і залишаться незмінними. Такі дії і є найчастіше причиною інфляції.