15.2 Необхідні умови екстремуму

Для відшукання екстремумів розглянемо спочатку необхідні умови екстремуму.

ТЕОРЕМА. (необхідна умова екстремуму).

Якщо функція має в точці екстремум, то її похідна в цій точці дорівнює нулю, або не існує.

Д оведення. Нехай в точці функція має похідну і досягає максимуму. Це означає, що при достатньо малому маємо З цього випливає, що відношення якщо і якщо Переходячи в нерівностях до границі, дістанемо

і

А це може одночасно виконуватись тільки при

Аналогічно доводиться перша частина теореми у випадку, коли функція досягає в точці мінімуму.

Але неперервна функція може мати екстремум в точках, в яких похідна не існує. Наприклад, функція в точці не диференційована, але досягає в ній мінімуму, що видно з графіка (мал.3).

Такі точки називають кутовими. Але ці умови не є достатніми. Похідна може дорівнювати нулю не тільки в точках екстремуму. Так похідна функції є . В точці але в цій точці функція не досягає екстремального значення.

Точки, в яких похідна функціі дорівнює нулю або не існує називають стаціонарними або критичними точками першого роду.

15.3. Достатні умови екстремуму

ТЕОРЕМА (перше правило). Якщо похідна функції при переході через критичну точку зліва направо змінює знак з “+”на “-“, то має максимум в точці , якщо зміна знаку відбувається з “-“ на “+”, то функція має мінімум в цій точці. Відсутність зміни знаку вказує на відсутність екстремуму.

Доведення. Якщо похідна при переході через точку змінює знак з “+”на “-“, то це означає, що при досить малому похідна додатня на проміжку і від’ємна на проміжку Отже, функція зростає на проміжку і спадає на проміжку , тобто в точці досягає максимуму.

Аналогічно доводиться твердження теореми відносно мінімуму функції.

ТЕОРЕМА.(друге правило). Якщо в точці x₀ перша похідна f′(x) функції f(x) дорівнює нулю, а її друга похідна f″(x) неперервна в околі цієї точки і f″(x)≠0, то функція f(x) має максимум в точці x₀, коли і мінімум , коли

Доведення. Нехай і Тоді внаслідок неперервності вона додатня в малому інтервалі Це означає, що , для якої є похідною, зростає в цьому інтервалі. Оскільки , то на проміжку похідна а на проміжку похідна

Тому в інтервалі спадає, а в інтервалі зростає. Значить, в точці функція має мінімум.

Аналогічно доводиться достатність умови існування максимуму.

Зауваження. Треба мати на увазі, що другим правилом не можна користуватися у випадку,коли критична точка одержана від того, що в ній похідна не існує, а також, якщо Тоді користуються першим правилом.

Приклад. Знайти максимум і мінімум функції

Розв’язування.Дана функція визначена на проміжку Знаходимо похідну і прирівнюємо її до нуля.

Корені даного рівняння

254