14.1 Необхідна умова зростання та спадання функцій

ТЕОРЕМА. Якщо диференційована функція на проміжку зростає, то її похідна невід’ємна, а якщо спадає, то її похідна недодатна.

Доведення. Якщо функція зростає, то з означення прирости і будуть однакових знаків. Тому відношення А

У випадку, коли функція спадає, прирости і

різних знаків, їх відношення від’ємне, а похідна

14.2Достатні умови зростання і спадання функції

ТЕОРЕМА. Якщо неперервна на замкненому проміжку функція має всередині цього проміжку додатну похідну, то функція зростає, а якщо від’ємну, то функція спадає.

Доведення. Нехай при Візьмемо дві точки та з проміжку і застосуємо до функції f(x) теорему Лагранжа. Одержимо

Оскільки , за умовою теореми, то цей добуток також більший нуля, а тому або Це означає, що функція зростає.

Аналогічно доводиться друга частина теореми.

Проміжки зростання і спадання функцій називаються проміжками монотонності функцій.

Для їх визначення знаходять похідну функції, прирівнюють її до нуля і знаходять корені похідної. Цими коренями розбивають область визначення функції на проміжки. В кожному з проміжків беруть всередині точку і встановлюють знак похідної в них. В тих проміжках, де похідні додатні, функція зростає, а де від’ємні – спадає.

Приклади. Знайти проміжки зростання і спадання функцій:

а)

б) y=lnx.

Розв’язування.

а) Область визначення функції – вся числова вісь (- .

З находимо похідну: Шукаємо корені похідної: ,

Наносимо ці корені на числову пряму. Область визначення

вони поділяють на три проміжки (мал.7).

З находимо знаки похідної в кожному з зазначених проміжків, обчисливши значення похідної в деяких точках кожного проміжка:

Отже, функція зростає на проміжках:

спадає на проміжку (-1;3).

б) Область визначення тільки додатні числа (0; .

З находимо корені похідної , , .

Наносимо цей корінь на промінь, що зображає область визначення (мал.8).

Встановлюємо знаки похідної в цих проміжках:

Отже, функція спадає на проміжку зростає на проміжку

§15. Екстремум функції

15.1. Поняття екстремуму

Будемо розглядати неперервні функції, які не змінюються монотонно, тобто такі, які на окремих проміжках зростають, а на інших спадають. Графіки таких функцій схематично можна зобразити малюнком 9.

Т оді існують такі значення функції які в порівнянні з іншими сусідніми значеннями є найбільшими чи найменшими. Такі значення називають відповідно максимумами і мінімумами. На малюнку 9

максимуми, мінімуми.

Означення 1. Максимумом функції називається таке значення яке не менше всіх значень функції в точках достатньо близьких до При цьому виконується нерівність для будь-яких достатньо малих .

Точка , в якій функція досягає максимуму , називається точкою максимуму.

Означення 2. Мінімумом функції називається таке значення яке не більше всіх значень функції в точках достатньо близьких до При цьому маємо для будь-яких достатньо малих

Точка , в якій функція досягає мінімуму ,

називається точкою мінімуму.

Максимуми і мінімуми разом називають екстремумами. Функція може мати всередині інтервалу декілька екстремумів.