12.3. Теорема Лагранжа

Цю теорему ще називають теоремою про скінчені прирости.

ТЕОРЕМА. Якщо функція неперервна на замкнутому проміжку і має похідну в кожній внутрішній точці цього проміжку, то знайдеться принаймні одна така точка всередині проміжку, що справедлива рівність

. (4.5)

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію Ця функція неперервна, як різниця двох неперервних функцій, а також має похідну у внутрішніх точках проміжку , бо її мають функції та Доберемо сталу k так, щоб Тоді буде задовільняти всі умови теореми Ролля. Маємо Звідки

. (4.6)

Отже, при такому k буде

Застосуємо до теорему Ролля . Знайдемо похідну

Тоді існує точка , що

Звідки . Підставивши це значення k у формулу (4.6), одержимо

або

Теорема доведена.

Якщо покласти , , то рівність (4.5) запишеться у вигляді , де

Це означає, що приріст функції дорівнює приросту аргументу, помноженому на похідну в деякій проміжній точці с, що знаходиться між і Звідси і друга назва теореми.

З теореми Лагранжа випливає два важливих наслідки.

Наслідок 1. Якщо похідна на деякому інтервалі то функція стала на цьому проміжку.

Доведення. Нехай на а і - довільні

точки з цього проміжку. За теоремою Лагранжа

Звідси, а це означає, що

Наслідок 2. Якщо дві функції та мають однакові похідні на деякому проміжку, то ці функції на ньому відрізняються хіба що на сталу.

Доведення. Якщо на проміжку то

функція на підставі попереднього наслідку 1

дорівнює сталій: тому що

Отже, або

12.4. Теорема Коші

ТЕОРЕМА. Якщо дві функції та неперервні на замкнутому проміжку і мають похідні та в кожній внутрішній точці цього проміжку, причому в кожній внутрішній точці проміжку, то існує принаймні одна така точка с з цього проміжку, для якої виконується рівність

.

Доведення. Побудуємо допоміжну функцію

де визначимо з умови, що

тобто . Звідси,

тому що . Це випливає з умови, що на основі теореми Лагранжа.

Оскільки функція неперервна як сума неперервних функцій на і має похідну в кожній внутрішній точці то при цьому

задовільняє всі умови теореми Ролля.

Отже, існує точка така що

Знайдемо

Тоді або

що треба було довести.

12.5. Правило Лопіталя

Знаходження границь, які вимагають “розкриття

невизначеностей” типу або значно спрощується за допомогою правила Лопіталя.

Правило Лопіталя. Якщо функції і диференційовані в околі точки , за виключенням, можливо, самої точки , причому в цьому околі і якщо або

то .

Коротко це правило можна сформулювати так:

Для невизначеностей типу або границя відношення двох функцій дорівнює границі відношення їх похідних, якщо вона існує.

Доведемо першу частину цього правила.

Доведення. Нехай функції і на деякому проміжку задовольняють умови теореми Коші і у внутрішній точці цього проміжку і Візьмемо на проміжку яку-небудь точку , відмінну від тобто Застосувавши теорему Коші, маємо

де - точка, що знаходиться між та Оскільки за припущенням то .

Якщо прямує до , то і буде прямувати до , бо

міститься між і Таким чином, якщо існує , то

існує , які рівні. Звідси випливає, що

Випадок, що в такий спосіб розкривається невизначеність типу вимагає більш складних міркувань і доводиться в більш повних курсах вищої математики.

Зауваження. Відмітимо, що умова про існування границі похідних є суттєвою.

Наприклад, і виконані умови . Про те застосувати правило Лопіталя при розкритті цієї невизначеності типу неможливо, бо не існує.

Приклад. Обчислити

Розв’язування. Підстановка в даний вираз дає невизначеність Застосуємо правило Лопіталя: