11.5. Застосування диференціалів при наближених

обчисленнях

Диференціали використовують при наближених обчисленнях значень функцій, застосовуючи приблизну рівність . В розгорнутому вигляді маємо

.

Звідки значення функції .

Приклад 1. Обчислити наближено ,02 з допомогою диференціалу.

Розв’язування. Число ln1,02 є значення функції при

х=1,02. Взявши , 0,02, маємо ;

.

Отже, ln 1,02= ln1+1 .

Приклад 2. Обчислити .

Розв’язування. Запишемо у вигляді . Будемо розглядати дане число як значення функції при

Взявши і врахувавши, що

маємо

, ,

і тому

§12.Основні теореми диференціального числення

Похідна функції є важливим інструментом при дослідженні властивостей функції. Перш ніж займатись дослідженням властивостей функції, доведемо деякі важливі теореми.

12.1. Теорема Ферма

Незважаючи на те, що в час, коли жив відомий французький математик П’єр Ферма (1601-1665), поняття похідної не було відоме, суть того методу, який він застосовував при знаходженні найбільших і найменших значень функції виражає теорема, яку справедливо називають теоремою Ферма.

ТЕОРЕМА ФЕРМА. Нехай функція визначена в інтервалі і в деякій внутрішній точці цього інтервалу приймає найбільше чи найменше значення. Тоді, якщо в цій точці існує похідна, то вона дорівнює нулю, тобто .

Доведення. Нехай в точці функція приймає найбільше значення, тобто для будь-якого Це значить, що для будь-якої точки Тому при буде і а при маємо і

Співставивши обидва співвідношення, одержуємо, що f′(x₀)=0.

А налогічно доводиться, що у випадку, коли функція в точці набуває найменшого значення.

Перетворення в нуль похідної функції геометрично означає, що в цій точці дотична до графіка функції паралельна осі (мал. 5).

12.2.Теорема Ролля

ТЕОРЕМА. Якщо функція неперервна на замкнутому проміжку і має похідну в кожній внутрішній точці цього проміжку, а на кінцях його приймає однакові значення то тоді принаймні в одній внутрішній точці проміжку її похідна дорівнює нулю.

Доведення. Розглянемо дві можливості.

1.Функція зберігає стале значення на всьому проміжку , тобто Тоді для всіх х є і теорема доведена.

2 .Функція не є сталою. Як неперервна функція на замкненому проміжку, вона досягає свого найбільшого М і свого найменшого m значення за теоремою Вейєрштраса. Принаймні одне з цих значень функція приймає всередині проміжку, бо тільки одне з них може прийматись на кінці проміжку. Припустимо для визначеності, що функція приймає всередині найбільше значення М в точці , тобто

Через те, що є внутрішньою точкою проміжка і функція за умовою має похідну в ній, то за теоремою Ферма похідна

Доведення аналогічне для випадку, коли в точці функція набуває найменшого значення.

Теорема Ролля припускає просте геометричне тлумачення. Якщо крива є графік функції на , то існує точка, в якій дотична до кривої паралельна осі (мал.6).