в) .

Розв’язування. Використавши формули (V) і (XVІІ), маємо

г)

Розв’язування. Використавши формули (VIІ) і (XVIa), одержимо

д)

Розв’язування. Використавши формули (IV,V,VII б ,XII),

одержимо

е) (Розв’язати самостійно).

Відповідь: .

§10. Похідні вищих порядків

Похідна функції у=f(x) є також функцією: у′=f′(x).

Ця функція також може мати похідну. Ця нова похідна називається другою похідною функції у=f(x) або похідною функції f(x) другого порядку і позначаться або .

Похідна другої похідної, тобто функції називається третьою похідною або похідною третього порядку і позначається символом або . Так можна ввести похідні четвертого, п’ятого і взагалі n – го порядку, які позначають .

Приклад 1. Знайти похідну четвертого порядку функції

.

Розв’язування. Маємо

Приклад 2. Знайти похідні n-го порядку від функцій:

а) , б) , в) .

Розв’язування.

а) , ,…, ;

б)

і по індукції

в) аналогічно знаходимо .

§11. Диференціал функції

11.1 Означення диференціала

Якщо функція має в точці х похідну , то і приріст функції можна подати у вигляді

, (4.3)

де - нескінченно мала величина, яка прямує до нуля разом з .

В формулі (4.3) другий доданок є нескінченно мала вищого порядку, ніж і тому головну частину суми складає перший доданок , який має назву диференціала функції.

Означення. Головна лінійна частина приросту функції, яка дорівнює добутку похідної на приріст незалежної змінної називається диференціалом функції .

Позначається диференціал символом або . Отже,

(4.4)

Приріст незалежної змінної також позначають так : .

Це пояснюють тим, що для функції диференціал . Тому рівність (4.4) записують .

Приклад1. Знайти диференціал функції .

Розв’язування. .

Приклад 2. Знайти диференціал функції y=sin³2x.

Розв’язування. Обчислимо спочатку похідну y′,

використавши правило диференціювання складної функції Отже,

11.2. Геометричний зміст диференціала

Диференціал функції має просте геометричне тлумачення.

Нехай маємо графік функції y=f(x). Візьмемо на цій кривій

т очку М(х,у) і проведемо в ній дотичну до кривої.

Нехай - кут нахилу дотичної з додатнім напрямом осі ОХ. Тоді .

Надамо х деякого приросту . На мал. 4 . Тоді ордината точки М дістане приріст , а ордината точки М, дотичної - приріст СД. Враховуючи, що ДМС= , маємо СД=МС або СД= .

З геометричної точки зору диференціал функції в даній точці є приріст ординати дотичної до графіка функції в цій точці, коли дістає приріст

11.3. Основні властивості диференціала

1). Диференціал сталої дорівнює нулю:

2).Диференціал алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі диференціалів цих функцій:

3. Диференціал добутку двох функцій дорівнює сумі добутків кожної з функцій на диференціал другої функції:

4) Диференціал частки знаходиться за формулою

.

Доведемо властивість 3):

11.4. Властивість інваріантності форми диференціала

Нехай дана складна функція , де .Тоді а .

Оскільки , то можемо зробити висновок, якщо замість незалежної змінної х підставити довільну функцію від х, то форма диференціала не змінюється. Ця властивість носить назву інваріантності форми диференціала.