3.Достатні ознаки збіжності знакопостійних рядів:
а) ознака Даламбера
Нехай
всі члени числового ряду
додатні і при необмеженому зростанні
номера
границя відношення
-
го члена до
-го
рівна деякому числу
,
тобто
Тоді, якщо
,
то ряд збігається, якщо
- ряд розбігається. При
дана ознака не дає відповіді на питання
про збіжність або розбіжність ряду,
тобто ряд в даному випадку може як
збігатися, так і розбігатися.
Приклад 1. Дослідити збіжність ряду:
.
Розв’язування.
Оскільки
,
то
, а значить
Оскільки
то згідно з ознакою Даламбера даний
ряд збігається.
Приклад 2. Дослідити збіжність ряду
.
Розв’язування.
Тут
.
Тому
Оскільки
то в силу ознаки Даламбера числовий
ряд розбігається.
Приклад 3. Дослідити збіжність ряду
.
Роз’язування.
Знаходимо
Тому за ознакою Даламбера збіжність вихідного ряду встановити неможливо.
Якщо ознака Даламбера не дає відповіді на питання про збіжність ряду (при q=1), потрібно використати інші ознаки збіжності даного ряду.
б) Інтегральна ознака Коші.
Нехай
- неперервна, монотонно спадна і додатня
в інтервалі
функція, значення якої
співпадають з відповідними додатніми
членами ряду
.
Тоді для збіжності ряду необхідно і
достатньо, щоб невласний інтеграл
мав скінченну величину.
Приклад 1. Дослідити збіжність ряду
.
Розв’язування.
Функція
(вигляд її встановлюємо із загального
члена заміною
n
на
х
)
набуває лише додатніх значень, монотонно
спадає на інтервалі
.
Значення
співпадають
з членами заданого ряду Отже, функція
задовільняє умові ознаки Коші. Питання
про збіжність даного ряду зводиться
до питання про збіжність невласного
інтеграла
.
Обчислимо даний інтеграл :
=
.
Невласний інтеграл збігається , а
тому збігається і вихідний ряд.
Приклад 2. Дослідити збіжність гармонічного ряду
.
Розв’язування.
Функція
задовільняє умовам Коші:
а)набуває
додатніх значень;
монотонно спадає на інтервалі
;
б)
значення
співпадають з відповідними членами
гармонічного ряду.
Обчислюємо невласний інтеграл
=
.
Даний невласний інтеграл розбігається, отже гармонічний ряд теж розбігається. в) Ознака порівняння рядів.
Нехай задано два ряди
з
додатніми членами.
Якщо
члени першого ряду не перевищують
відповідних членів другого ряду, тобто
то із збіжності другого ряду випливає
збіжність першого, а з розбіжності
першого - розбіжність другого.
Приклад 1. Дослідити збіжність ряду
.
Розв’язування. Порівняємо даний ряд з нескінченно спадною геометричною прогресією
.
Оскільки
для довільного n
,
a
ряд нескінченно спадної геометричної
прогресії є збіжним рядом, то згідно
з ознакою порівняння рядів вихідний
ряд буде збіжним.
Приклад 2. Дослідити збіжність ряду
.
Розв’язування.
Даний ряд порівняємо з гармонічним
рядом. Для довільного
n
виконується нерівність
.
Як було показано вище гармонічний
ряд розбігається, отже даний ряд
розбігається також.