§10. Числові та степеневі ряди

1. Числовий ряд та його збіжність.

2. Необхідна умова збіжності ряду..

3. Достатні ознаки збіжності знакопостійних рядів:

а) ознака Даламбера;

б) інтегральна ознака Коші;

в) ознака порівняння в рядів.

4. Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца збіжності знакопереміжного ряду.

5. Абсолютна та умовна збіжність ряду.

6. Степеневий ряд та його збіжність. Область збіжності степеневого ряду.

7. Розклад функції в ряд Тейлора і Маклорена.

8. Інтегрування і диференціювання степеневих рядів.

9. Застосування степеневих рядів до наближених обчислень.

1. Числовий ряд та його збіжність.

Якщо - нескінчена послідовність чисел, то вираз називається числовим рядом. Числа називаються членами ряду. Коротко ряд можна зааписати так:

Вираз n-го члена ряду при довільному натуральному n називається загальним членом цього ряду і позначається

Ряд вважається заданим, якщо відомо правило, за яким для довільного номера n можна записати відповідний член ряду. Загальний член ряду можна задати формулою з допомогою якої записується довільний член ряду. Наприклад, якщо то ряд матиме відповідно вигляд . Якщо ряд записати у вигляді , то легко записати декілька його членів. Наприклад, якщо задано ряд то в іншій формі він матиме вигляд .

Сумою n перших членів ряду називається n - ю частинною сумою. Вона позначається через

Якщо при n існує границя послідовності частинних сум даного ряду то ряд називається збіжним, а число S - його сумою. При цьому .

Якщо послідовність сум не прямує до границі, то ряд називається розбіжним.

Ряд може розбігатися у двох випадках:

1) Якщо 2) якщо послідовність коливається.

Як приклад розглянемо суму нескінченої геометричної прогресії, яка є числовим рядом: .

Доведемо збіжність цього ряду. Частинна сума

Якщо то

Тому

Отже, при нескінчена геометрична прогресія утворює збіжний ряд, сума якого

Якщо то Тому і ряд геометричної прогресії розбігається.

При одержимо ряд ( який має частинну суму і

Якщо одержимо ряд . Його частинні суми набирають таких значень і т.д. коливна послідовність, яка немає границі. Згідно з означенням, в останніх двох випадках ряд геометричної прогресії розбігається.

Таким чином, нескінченна геометрична прогресія - це ряд, який збігається при і розбігається при

У більшості випадків такий шлях не виправдовує себе, оскільки не завжди можна знайти компактну формулу для а значить її границю. Надалі будемо досліджувати збіжність ряду, не шукаючи його суми, а користуючись ознаками збіжності.

2. Необхідна ознака збіжності ряду. Теорема. Нехай числовий ряд . (1)

збігається, а його сума. Тоді при безмежному зростанні числа його загальний член прямує до нуля. Доведення. З умови теореми маємо і Так як , то

Відмітимо, що є лише необхідною умовою збіжності числового ряду, але не достатньою. Це означає, що дана умова може виконуватись, але відповідний числовий ряд буде розбіжним.

Прикладом може бути гармонічний ряд .

Як бачимо, необхідна умова для цього ряду виконується

Однак він є розбіжним (це буде показано далі).

Існує багато ознак, які дозволяють стверджувати збіжність або розбіжність даного ряду.

Розглянемо три ознаки збіжності числових рядів з додатніми членами.