3. Спектр дискретизированного сигнала.
Спектр дискретизированного сигнала определяется согласно преобразованию Фурье:
.
Сигнал из
дельта-функций объединяет бесконечное
количество импульсов, которым сопоставлены
отсчеты единичного значения, т.е.
при x(n)=1.
Такой сигнал периодичен (период равен шагу дискретизации Ts) и может быть представлен в виде ряда Фурье, согласно которому:
.
Поскольку в интервал интегрирования всегда попадает только одна дельта функция, а спектр дельта-функции равен единице, то:
.
Следовательно,
.
Выражение для дискретного сигнала принимает вид:
.
Умножение значений
исходного сигнала на экспоненту
соответствует сдвигу спектральной
функции на
,
т.е. спектр
дискретизированного сигнала:
Таким образом,
спектр дискретизированного сигнала
представляет собой бесконечный ряд
сдвинутых по шкале частоты копий спектра
исходного непрерывного сигнала
(рис.6).
Расстояние между соседними копиями
спектра равно частоте дискретизации
.
Копии спектра называются зеркальными.
Рис.6 Спектр непрерывного (вверху) и дискретизированного сигнала
(внизу - зубчатая структура)
4. Дискретизация низкочастотных сигналов
Частоту
называют частотой
Найквиста,
а условие
- критерий
Найквиста.
Дискретизация,
основанная на использовании критерия
Найквиста, называется дискретизацией
низкочастотных сигналов.
Если условие выполнено (рис.6), то соотношение копий спектра позволяет однозначно определить значения дискретных отсчетов x(n) и точно восстановить непрерывный сигнал. Для восстановления необходимо пропустить дискретный сигнал через идеальный фильтр нижних частот с частотой среза, равной половине частоты семплирования (на рис.6 АЧХ такого ФНЧ показана штриховой линией).
Теорема Котельникова
(теорема Найквиста, теорема о равномерном
дискретном представлении) - любой сигнал,
спектр которого не содержит составляющих
с частотами выше некоторого значения
,
может без потерь информации представлен
дискретными отсчетами, взятыми с
интервалом Тs,
удовлетворяющим следующему неравенству:
,
что тождественно:
.
Например, при обработке сигнала звукового диапазона (с максимальной частотой 20кГц) необходимая частота дискретизации должна быть более 40кГц. В компьютерной технике за основную принята частота 44,1кГц. Кроме этой частоты на практике используются также частоты 48кГц, 96кГц.
Если условие не выполнено, то имеет место наложение частот, при котором копии спектра частично накладываются друг на друга (рис.7а). В результате этого неизбежны искажения при восстановлении сигнала, которые вызваны тем, что спектральные составляющие сигнала с частотами, попадающими в зону наложения, не могут быть восстановлены верно, т.к. вместе с ними захватываются частоты соседних копий спектра. Как следствие, в восстановленном сигнале появляются ложные частоты, т.е. имеет место алиасинг.
а)
б)
Рис.7 Спектр дискретизированного сигнала с наложением частот:
а) без фильтрации, б) после фильтрации
Если подлежащий дискретизации сигнал содержит частоты, превышающие частоту Найквиста, то его необходимо предварительно (перед оцифровкой) пропустить через фильтр с частотой среза, равной частоте Найквиста (рис.7б). Такой фильтр называется антиэлайзинговым. Высокочастотные составляющие при этом будут потеряны, но наложения не произойдет. Сохранить же высокочастотные составляющие, превышающие частоту Найквиста, можно повышением частоты дискретизации.
Использование фильтра перед дискретизацией позволяет избавиться от возможных высокочастотных помех. Например, при дискретизации звукового сигнала с максимальной частотой 13кГц и дополнительной помехой с частотой 34кГц, не попадающей в звуковой диапазон, по причине размножения спектра помеха попадает в звуковой диапазон в виде частоты 7кГц, искажающей полезный сигнал (рис.8). Применение фильтра устраняет этот недостаток (рис.9).
Рис.8 Пример размножения спектра
Рис.9 Фильтрация перед дискретизацией (низкочастотная дискретизация)