Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Коллок диффуры.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
1.88 Mб
Скачать

Теорема Коши о существовании и единственности решения задачи дифференциального уравнения первого порядка.

См. Степанова. Более адекватного доказательства я не нашел.

Метод последовательных приближений.

Пусть требуется найти решение   дифференциального уравнения

(1)

удовлетворяющее начальному условию

(2)

Будем предполагать, что в некотором прямоугольнике   с центром в точке   для уравнения (1) выполнены условия а) и б) теоремы существования и единственности решения задачи (1)-(2).

Решение задачи (1)-(2) может быть найдено методом последовательных приближений, который состоит в следующем.

Строим последовательность   функций, определяемых рекуррентными соотношениями

(3)

В качестве нулевого приближения   можно взять любую функцию, непрерывную в окрестности точки  , в частности   — начальное значение Коши (2). Можно доказать, что при сделанных предположениях относительно уравнения (1) последовательные приближения   сходятся к точному решению уравнения (1), удовлетворяющему условию (2), в некотором интервале , где

(4)

Оценка погрешности, получаемой при замене точного решения   n-м приближением  , даётся неравенством

(5)

где  . Применяя метод последовательных приближений, следует остановиться на таком  , для которого  не превосходит допустимой погрешности.

Следствия из теоремы Коши.

Опять же Степанов.

Принцип сжатых отображений. Особые точки и особые решения.

Определение особого решения

Функция φ(x) называется особым решением дифференциального уравнения F(x,y,y') = 0, если единственность решения нарушается в каждой точке этой функции в области определения дифференциального уравнения. Геометрически это означает, что через каждую соответствующую точку (x0,y0) проходит более одной интегральной кривой с общей касательной.  Примечание: Иногда используется более слабое определение особого решения, когда единственность решения нарушается лишь в некоторых точках.  Особое решение дифференциального уравнения не описывается общим интегралом. Поэтому, оно не выводится из общего решения ни при каком значении постоянной C. Это можно проиллюстрировать следующим примером:  Пусть требуется решить уравнение  (y')2 − 4y = 0. Видно, что общее решение данного уравнения описывается функцией  y = (x + C)2. Графически общее решение представляется в виде семейства парабол (Рисунок 1).

Рис.1

Кроме этого, функция  y = 0 также удовлетворяет дифференциальному уравнению. Однако эта функция не содержится в общем решении! Поскольку через каждую точку прямой  y = 0 проходит более одной интегральной кривой, то единственность решения на этой прямой нарушается, и, следовательно, данная прямая является особым решением дифференциального уравнения.

p-дискриминант

Одним из способов нахождения особого решения является исследование так называемого p-дискриминантадифференциального уравнения. Если функция F(x,y,y') и ее частные производные   непрерывны в области определения дифференциального уравнения, то особое решение находится из системы уравнений:

Уравнение ψ(x,y) = 0, которое получается при решении данной системы, называется p-дискриминантомдифференциального уравнения. Соответствующая кривая, определенная этим уравнением, называется p-дискриминантной кривой.  После нахождения p-дискриминантной кривой необходимо проверить следующее:

  1. Является ли p-дискриминант решением дифференциального уравнения?

  2. Является ли p-дискриминант особым решением, то есть существуют ли другие интегральные кривые дифференциального уравнения, которые касаются p-дискриминантной кривой в каждой точке?

Это можно сделать следующим образом:

  • Сначала нужно найти решение дифференциального уравнения (обозначим его как y1);

  • Затем нужно записать условия касания кривой особого решения (обозначим его как y2) и семейства интегральных кривых общего решения y1 в произвольной точке x0:

         

Если данная система имеет решение в произвольной точке x0, то функция y2 будет являться особым решением. Особое решение обычно соответствует огибающей семейства интегральных кривых общего решения дифференциального уравнения.

Огибающая семейства интегральных кривых и C-дискриминант

Другой способ нахождения особого решения в виде огибающей семейства интегральных кривых основан на использовании C-дискриминанта.  Пусть Φ(x,y,C) является общим решением дифференциального уравнения F(x,y,y') = 0. Графически уравнениеΦ(x,y,C) = 0 соответствует семейству интегральных кривых на плоскости xy. Если функция Φ(x,y,C) и ее частные производные непрерывны, то огибающая семейства интегральных кривых общего решения определяется системой уравнений:

Чтобы убедиться, что решение данной системы уравнений действительно является огибающей, можно воспользоваться методом, рассмотренным в предыдущем пункте.

Общий алгоритм нахождения особых точек

Более общий способ нахождения особых точек дифференциального уравнения основан на одновременном использовании p-дискриминанта и C-дискриминанта.  Сначала мы определяем уравнения p-дискриминанта и C-дискриминанта:

  • ψp(x,y) = 0 − уравнение p-дискриминанта;

  • ψC(x,y) = 0 − уравнение C-дискриминанта;

Оказывается, что эти уравнения имеют определенную структуру. В общем случае, уравнение p-дискриминанта представляется в виде произведения трех функций:

где E означает уравнение огибающейT − уравнение точек прикосновения и C − уравнение точек заострения.  Аналогично, уравнение C-дискриминанта также раскладывается на произведение трех функций:

где E − уравнение огибающейN − уравнение узловых точек, а C − уравнение точек заострения.  Здесь мы имеем дело с новыми типами особых точек: C - точки заостренияT - точки прикосновения иN - узловые точки. Их вид в плоскости xy схематически представлен на рисунках 2-4.

Рис.2

Рис.3

Рис.4

Рис.5

Три типа особых точек из четырех, а именно: точки заострения, точки прикосновения и узловые точки, − являются внешними, то есть они не удовлетворяют дифференциальному уравнению и, поэтому, не являются особыми решениями дифференциального уравнения. Только уравнение огибающей будет являться особым решением. Поскольку огибающая входит в уравнения обоих дискриминантов в виде множителя в первой степени, то ее уравнение легко определяется из данной системы.