Уравнения с интегрирующим множителем.

Интегрирующий множитель M(x, y) – это такая функция от переменных x и y, умножив на которую, дифференциальное уравнение первого порядка  становится уравнением в полных дифференциалах:

 

Свойства интегрирующего множителя

Рассмотрим дифференциальное уравнение:

(1)

Если

То левая часть уравнения (1) не является дифференциалом некоторой функции. Однако при выполнении условий существования единственного решения уравнения (1), его можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением на некоторую функцию M(x, y) от переменных xи y.

Методы определения интегрирующего множителя

Хотя каждое уравнение имеет интегрирующий множитель, совсем не обязательно, что он выражается через известные функции. Поэтому найти интегрирующий множитель можно не всегда. Но даже если интегрирующий множитель выражается через известные функции, нет методов, следуя которыми, можно было бы с гарантией определить его.

Поэтому, при решении уравнений, следует проверить, не принадлежит ли уравнение одному из известных типов. И в том случае, если оно не принадлежит ни одному из известных типов, попытаться найти интегрирующий множитель.

Ниже описан ряд методов, с помощью которых, в некоторых случаях, можно найти интегрирующий множитель.

 

Метод последовательного выделения дифференциала

Этот метод аналогичен методу выделения полного дифференциала для уравнений в полных дифференциалах. Только здесь полный дифференциал удается выделить, умножая уравнение на множители. Для этого применяем формулы дифференцирования, записанные в дифференциальной форме:

du ± dv = d(u ± v)

v du + u dv = d(uv)

В этих формулах u и v - произвольные выражения, составленные из любых комбинаций переменных.

Метод группировки членов уравнения

В этом случае исходное уравнение:

разбиваем на сумму слагаемых:

Пусть первое слагаемое имеет интегрирующий множитель:

Умножаем уравнение на M₁:

Далее следует подобрать такую функцию φ(U₁) от U₁, чтобы при умножении на нее, второе слагаемое стало полным дифференциалом:

Первое слагаемое при этом остается полным дифференциалом:

Тогда:

Далее следует подобрать такую функцию φ₂(W₁+U₂) от W₁+U₂, чтобы при умножении на нее, следующее слагаемое стало полным дифференциалом. И так далее, пока все выражение станет полным дифференциалом.

Определение интегрирующего множителя заданного вида

В предыдущем примере мы для уравнения

методом подбора угадали интегрирующий множитель вида M( xy ):

На самом деле процедуры подбора можно избежать. Можно точно определить, имеется ли для заданного уравнения интегрирующий множитель заданного вида. И если имеется, то определить его.

Пусть имеется уравнение:

для которого ищется интегрирующий множитель вида:

M = M(u)

где u = u(x, y) - заданная функция переменных x, y.

Найдем интегрирующий множитель, или определим, что множителя такого вида не существует.

Умножим исходное уравнение на M:

Это уравнение будет уравнением в полных дифференциалах при выполнении условия:

Или:

Теперь положим, что M - функция от u, где u = u(x, y) - заданная функция переменных x, y. Тогда:

Подставляем:

Отсюда:

Интегрирующий множитель заданного вида существует, если правая часть является функцией от u:

Тогда:

Или:

Интегрируем:

Отсюда:

Поскольку постоянная C для интегрирующего множителя никакого значения не имеет, положим C = 1: