Питання для самоконтролю.

1. Чим займається теорія ймовірностей як математична наука?

2. Навести приклади випадкових подій, масових випадкових подій.

3. Які поняття теорії ймовірностей приймаються за первісні не означувані поняття?

4. Яка подія називається випадковою?

5. Які випадкові події називаються масовими?

6. Які події називаються попарно несумісними?

7. Які сукупності подій утворюють повну групу?

8. Які події називаються елементарними?

9. Сформулюйте класичне означення ймовірності події.

10. Чому дорівнює ймовірність вірогідної і неможливої події?

11. Сформулюйте принцип практичної впевненості.

12. Яка подія називається складною?

13. Що називається сумою подій?

14. Сформулюйте теорему додавання ймовірностей подій і наслідки з неї.

15. Які події називаються протилежними?

16. Що називається добутком подій?

17. Сформулюйте теорему множення ймовірностей незалежних подій.

18. Які випробування називаються взаємно незалежними?

19. Що називається статистичною частотою події?

20. Сформулюйте статистичне означення ймовірності.

21. Сформулюйте теорему Бернуллі.

Приклади розв’язування типових задач.

Приклад 1. Гральну кістку кидають один раз.

Знайти ймовірність події: А – появи парного числа очок; В – появи не менше п’яти очок; С – появи не більше п’яти очок.

Розв’язання. Дослід має шість рівно можливих незалежних наслідків

( поява одного, двох, трьох, чотирьох, п’яти і шести очок), які утворюють повну систему.

Події А сприяють три наслідки (випадання двох, чотирьох і шести очок) тому Р(А) = 3/6 = 1/2; події В – два наслідки (випадання п’яти і шести очок) тому Р(В) =2/6 = 1/3; події С – п’ять наслідків (випадання п’яти, одного, двох, трьох, чотирьох очок), тому Р(С) = 5/6.

При обчисленні ймовірності події часто доводиться використовувати формули комбінаторики.

Приклад2. В урні знаходиться 7 червоних і 6 синіх кульок. З урни одночасно виймають дві кулі. Знайдіть ймовірність того, що обидві кулі червоні (події А).

Розв’язання. Число рівно можливих незалежних наслідків дорівнює:

n = С .

Події: А сприяють m = С наслідків.

Отже, Р(А) =

Приклад3. Нехай деталі виготовляють на трьох верстатах. На першому виготовлено 40% всіх деталей, на другому – 35% і на третьому – 25%. На першому 90% деталей були I сорту, на другому 80%, і на третьому – 70%. Яка ймовірність, що взята деталь I сорту?

Розв’язання. Складемо гіпотези:

Н – деталь виготовили на I верстаті,

Н – деталь виготовили на II верстаті,

Н – деталь виготовили на III верстаті.

Подія А – взяти деталь першого сорту, може відбутись одночасно з кожною з гіпотез Н .

Тоді

Р(А)=Р(Н )· Р (А)+Р(Н )· Р (А)+...+ Р(Н )·Р (А).

З умови задачі видно, що

Р(Н )=0,4; Р(Н )=0,35; Р(Н )=0,25;

Р (А)=0,9; Р (А)=0,8; Р (А)=0,7.

Отже, Р(А)=0,4·0,9+0,35·0,8+0,25·0,7=0,815.

Приклад 4. В партії з 24 деталей п’ять бракованих. З партії вибирають навмання 6 деталей. Знайдіть ймовірність того, що серед цих 6 деталей виявиться 2 браковані (подія В).

Розв’язання. Число рівно можливих незалежних подій дорівнює

n = С

Підрахуємо число наслідків, сприятливих для події В. Серед 6 взятих навмання деталей повинно бути 2 браковані і 4 стандартні. Дві браковані деталі з п’яти можна вибрати С способами, а 4 стандартних деталі з 19 стандартних деталей можна вибрати С способами.

Кожна комбінація бракованих деталей може сполучатись з кожною комбінацією стандартних деталей, тому

m = 3876·10 = 38760.

Отже, Р(В) = .

Приклад 5. Знайти математичне сподівання величини Х, якщо відомий закон її розподілу

Х	-8	-4	-1	1	3	7
Р	0,08	0,17	0,25	0,17	0,08	0,25

Розв’язання. Знайдемо математичне сподівання

М(Х) = -8·0,08 - 4·0,17 - 1·0,25 + 1·0,17 + 3·0,08 + 7·0,25 = 0,59.

Приклад 6. Дискретна випадкова величина розподілена за законом

Х	-1	0	1	2
Р	0,2	0,1	0,3	0,4

Знайти дисперсію і середнє квадратичне відхилення.

Розв’язання. Спочатку знайдемо М(Х) = -1·0,2 + 0·0,1 + 1·0,3 + 2·0,4 = 0,9, а далі

М(Х²) = (-1)²·0,2 + 0²·0,1 + 1²·0,3 + 2²·0,4 = 2,1.

Знайдемо дисперсію D(Х) = М(Х²) – М²(Х) = 2,1 – (0,9)² = 1,29.

Знайдемо середнє квадратичне відхилення σ = = = 1,14.