Методичні рекомендації.

Теорія ймовірностей вивчає закономірності у випадкових подіях. Основними поняттями теорії ймовірності є випробування і події.

Під випробуванням (дослідом) розуміють реалізацію комплексу умов, внаслідок якого неодмінно відбудеться яка-небудь подія.

Наприклад: кидання монети – випробування; поява герба чи цифри – події.

Випадковою подією називають подію, пов’язану з даним випробуванням, яка при здійсненні випробування може відбутися, а може й не відбутися. Слово “випадкова” для стислості часто опускають і говорять просто подія. Наприклад, постріл по цілі – це дослід, випадкові події у цьому досліді – попадання в ціль або промах.

Подія називається вірогідною, якщо в результаті досліду вона обов’язково відбудеться і неможливою, якщо вона не може відбутися. Наприклад: випадання не більше шести очків при киданні однієї гральної кості – вірогідна подія; випадання десяти очок при киданні однієї гральної кості – неможлива подія.

Події називаються несумісними, якщо ніякі дві з них не можуть відбутись одночасно.

Наприклад: попадання і промах при одному пострілі – це несумісні події.

Говорять, що декілька подій у даному досліді утворюють повну систему подій, якщо в результаті досліду неодмінно повинно відбутися хоча б одна з них. Наприклад: при киданні гральної кості події, які полягають у випаданні одного, двох, трьох, чотирьох, п’яти і шести очок, утворюють повну систему подій.

Події називають рівноможливими, якщо ні одна з них не є об’єктивно більш можлива, ніж інша. Наприклад при киданні монети випадання герба чи числа – події рівно можливі.

Кожна подія має якусь степінь можливості. Числова міра степеня об’єктивної можливості події – це ймовірність події.

Ймовірність події А позначається Р(А).

Нехай з системи n- несумісних рівно можливих наслідків випробувань m-наслідків сприяють події А. Тоді ймовірність події А обчислюється по формулі:

Р(А) = .

Ця формула носить назву класичного означення ймовірності.

Якщо В – вірогідна подія, то m = n, отже Р(В) = 1;

Якщо С – неможлива подія, то m = 0, отже Р(С) = 0;

Якщо А – вірогідна подія, то m ≤ n, отже Р(А) ≤ 1;

Тому ймовірність події знаходиться в межах.

0 ≤ Р(А) ≤ 1.

Дії над подіями та їх ймовірностями.

Більш складні випадкові події можна представити, як набір декількох більш простих. Наприклад, випадіння парного числа очок на гральній кості (подія А) може бути представлено, як набір подій А , А , А , де

А – випадання двох очок;

А – випадання чотирьох очок;

А – випадання шести очок.

Для представлення складної події через більш прості вводять поняття додавання та множення подій.

Сумою (об’єднанням) двох подій А і В називають подію С, яка полягає в здійсненні хоча б однієї з подій А або В (рис. 1).

Символічний запис:

С = А + В або С = А В.

Добутком (перетином) двох подій А і В називають подію С, яка полягає в одночасному здійсненні події А, і події В (рис. 2).

Символічний запис:

С = А ·В або С = А В.

Ймовірності добутку й суми подій встановлюють за допомогою відповідних теорем.

Теорема додавання ймовірностей несумісних подій.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Ймовірність появи однієї із кількох попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В) –Р(АВ).

Ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи.

Умовною ймовірністю події А при умові В називають ймовірність настання події А, обчислену в припущенні, що подія В уже відбулася і позначають Р (А) або Р(А/В).

Події А,В,С,... називають незалежними в сукупності, якщо ймовірність кожної з них не змінюється в зв’язку із настанням, або ненастанням інших подій.

Теорема множення ймовірностей незалежних подій.

Р(АВ)=Р(А)· Р (В)= Р(В)· Р (А)

Ймовірність сумісних появи двох незалежних подій дорівнює добутку однієї з них на умовну ймовірність другої.

Бачимо, що ймовірність події можна обчислити як суму або добуток ймовірностей елементарних подій, причому процес встановлення ймовірності значно спрощується. Саме цій меті служить формула повної ймовірності.

Нехай Н , Н Нn – події, які утворюють повну групу, тобто вичерпують всі можливі випадки даного експерименту. Подія А може відбутись з настанням кожної з подій Н з деякою ймовірністю Р (А).

Тоді ймовірність події А обчислюють за формулою

Р(А)=Р(Н )· Р (А)+Р(Н )· Р (А)+...+ Р (Н )·Р (А),

де Р(Н )+ Р(Н )+... Р (Нn)=1.

Події Н , Н Н називають гіпотезами.

Якщо подія А може настати лише за умови появи однієї з гіпотез Н , Н Нn, то ймовірність гіпотез можна переоцінити за формулою Байєса.

Р ( Н )= ,

де Р ( Н )– ймовірність кожної з гіпотез після випробування, в результаті якого настала подія А;

Р (А) – умовна ймовірність події А після настання події Н ;

Р(А)– ймовірність події А, знайдена за формулою повної ймовірності.

Формула Бернуллі.

Нехай відбувається n незалежних випробувань, в кожному з яких ймовірність того, що відбудеться подія А рівна p. Тоді ймовірність того, що при n випробуваннях подія А відбудеться рівно k обчислюється за формулою Бернуллі.

Р ( k)=С р (1-р)

Дійсно, випадок, коли подія А відбудеться в кожному з перших випробувань, і не відбудеться в інших n- k випробуваннях можна представити як добуток подій А і :

Згідно умови, всі випробування незалежні, тому

Р =

Подія А може відбутись k раз при випробуваннях і в іншій послідовності, наприклад

але ймовірність залишиться незмінною, бо від перестановки множників добуток не змінюється. Число всіх можливих послідовностей, в яких відбуватимуться події А і рівне С . Додавши всі можливі випадки, по теоремі додавання ймовірностей несумісних подій отримуємо формулу Бернуллі.

Основні поняття комбінаторики

Комбінаторика – це розділ математики, в якому розглядають різні комбінації скінченої кількості елементів та обчислюють число усіх можливих таких комбінацій. До основних понять комбінаторики належать поняття розміщення, комбінації(сполуки),та перестановки.

Перестановкою n елементів називають встановлений в скінченій n – елементній множині порядок. Число всіх можливих перестановок з n елементів позначають Р_n і обчислюють за формулою Р_n = 1·2·…· n = n!

Розміщення. Множина, в якій задано порядок розміщення її елементів називається впорядкованою. Розглянемо скінчену множину з n елементів. Усяка її впорядкована т – елементна підмножина (т ≤ n) називається розміщенням з n елементів по т. Число всіх можливих т – елементних розміщень для множини з n елементів (число всіх можливих розміщень з n елементів по т) обчислюється за формулою.

Дискретна випадкова величина, та її основні характеристики.

Випадковою величиною називають змінну Х, яка в результаті випробування може прийняти одне і лише одне значення, не відоме раніше і таке, що залежить від наслідку випробування. Можна пояснити, що величина буде випадковою, якщо вона приймає в даному випробуванні різні значення.

Випадкові величини поділяються на дискретні та неперервні. Ми розглядатимемо дискретні випадкові величини.

Величину Х називають дискретною випадковою величиною, якщо множина її можливих значень є скінченою або нескінченою послідовністю чисел х₁, х₂, …х_п,…, де кожне співвідношення Х = х_і є елементарною випадковою подією і має визначену ймовірність Р = р_і.

Оскільки, кожне значення дискретної випадкової величини має визначену ймовірність, то дані спостережень зручно заносити в таблицю:

Значення випадкової величини	х1	х2	……..	хп
Ймовірність цього значення	р1	р2	………	рп

Дана таблиця носить назву таблиці закону розподілу дискретної випадкової величини. Закон розподілу можна також задати у вигляді рівняння або графічно.

Отже, законом розподілу дискретної випадкової величини Х називають співвідношення між можливими значеннями х_і та їх ймовірностями р_і.

Якщо випадкова величина Х може набувати скінченого числа різних значень х₁, х₂, …х_п, то елементарні події Х = х₁, Х = х₂, …Х = х_п утворюють повну группу і тому сумма їх ймовірностей дорівнює одиниці, тобто

р₁ + р₂ +…+ р_п = 1.

Важливою характеристикою дискретної випадкової величини Х є математичне сподівання.

Математичне сподівання М(Х) дискретної випадкової величини Х це сума добутків всіх її можливих значень х_і на їх ймовірності р_і:

М(Х) = р₁х₁ + р₂х₂ + …+ р_пх_п =

Властивості математичного сподівання.

1. Математичне сподівання постійної величини дорівнює самій постійній величині М(С) = С

2. Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань доданків М(Х +У) = М(Х) + М(У)

3. Математичне сподівання добутку незалежних випадкових подій дорівнює добутку математичних сподівань цих величин М(ХУ) = М(Х)·М(У)

4. Постійний множник можна винести за знак математичного сподівання М(СХ) = СМ(Х)

Важливою характеристикою дискретної випадкової величини є дисперсія.

Дисперсія D(Х) характеризує розсіяння можливих значень випадкової величини Х і визначається за формулою D(Х) = М(Х – М(Х))².

Величину σ = називають середнім квадратичним відхиленням випадкової величини.

Властивості дисперсії

1. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю D(С) = 0.

2. Сталий множник можна виносити за знак дисперсії, піднявши його до квадрата D(СХ) = М(СХ – М(СХ))² = М(СХ – СМ(Х))² = С²М(Х – М(Х))² = С² D(Х).

3. Дисперсія дорівнює математичному сподіванню квадрата випадкової величини мінус квадрат її математичного сподівання D(Х) = М(Х – М(Х))² = М(Х² – 2М(Х)Х +М²(Х)) = М(Х²) – 2М(Х)М(Х) + М²(Х) = М(Х²) – М²(Х).

4. Якщо д овсіх значень випадкової величини додати (відняти) постійне число, то дисперсія її не зміниться D(Х + А) = D(Х)