Приклади розв’язування типових задач.

Приклад 1. Обчислити інтеграли:

а) (6х – х² –5) dx, б) х сos x dx

Розв’язування. а) Методом безпосереднього інтегрування

(6х – х² –5) dx = 6 x dx - x² dx 5 dx = 3x² - - 5x = 10

б ) Методом інтегрування частинами

и = х cos x dx = dV ^{2 П}

х соs x dx = dи = dx ∫ cos xdx = V = x sin x - sin x dx = 2П sin 2П- 0 sin 0 V=sin x 0

^{2П 2П}

+ cos x = cos x = cos 2П – cos 0 = 0

^{0 0}

Приклад 2. Розв’язати диференціальне рівняння

х у dx = (1 + x²) dу

Розв’язування. Це диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними

х у dx = (1+ x²) d у

Розділимо змінні

xdx ₌ dу

1 + х² у

xdx dу 1 d (1+x² ) dу

Від обох частин беремо інтеграл ∫ 1+х²⁼ ∫ у ^; 2 ∫ 1+x^{2 =} ∫ у . Якщо в обох частинах логарифми, то замість постійної С можна брати ℓn С.

1

2 ℓn │1+х² │= ℓn у + ℓnС; ℓn = ℓn у С

Загальний розв’язок рівняння =Су.

Для знаходження частинного розв’язку потрібно в загальний розв’язок підставити початкові умови, тобто х та у та знайти С і підстави знову в загальний розв’язок.

Розділ 3 : Елементи теорії матриць та визначників. Системи лінійних рівнянь.

1. Барковський В.В., Барковський Н.В. Математика для економістів : Вища математика, ч.1, Н. Націцональна академія управління, 1997 – 397с, с 72 – 97.

2. Гетьманцев В.Д. Лінійна алгебра і лінійне програмування, К: Либідь, 2001 – 256с, с 6 – 44.

3. Рудавський Ю,К., Костробій П.П. Лінійна алгебра та аналітична геометрія, Л: Бескид Бит, 2002 – 262с, с 7 – 22.

Методичні рекомендації.

Матриця – таблиця упорядкованих чисел або будь – яких інших об’єктів.

а₁₁ а_{12 ……….} а_1n

А = а₂₁ а₂₂ ……. а_2n

…………………..

а_m1 a_m2 ……. a_mn

Матрицю називають квадратною порядку n , якщо кількість її рядків однакова з кількістю стовпців і дорівнює n.

Наступні дії з матрицею :

• добуток матриці А на число k:

ka₁₁ ka₁₂ …… ka_1n

kА = ka₂₁ ka₂₂ ……. ka_2n

……………………….

ka_m1 ka_m2 ……. ka_mn

• алгебраїчною сумою матриць А та В одного розміру m . n називається матриця С розміру m х n

A ± B = С

a₁₁ a₁₂ …… a_m b₁₁ b₁₂ ……b_m a₁₁ ±b₁₁ a₁₂ ± b₁₂ .. a_{1 n}±b_1n

А = a₂₁ a₂₂ ……. a_2n ; B = b₂₁ b₂₂ …… b_2n ; С = a₂₁ ± b₂₁ a₂₂ ± b₂₂ .. a_2n ± b_2n

………………… ………………….. ……………………………

a_m1 a_m2 …… a_mn b_m1 b_m2 …… b_mn a_m1 ± b_m1 a_m2 ± b_m2.. a_mn ± b_mn

• добутком АВ матриці А розміру m х n і матриці В розміром n х р називається матриця С розміром m х р.

Визначником n –го порядку квадратної числової матриці А порядку n називають число, яке знаходиться з елементів матриці А за певним правилом і позначають │А │або ∆ ( А ).

Рангом матриці називають найбільший порядок її мінорів, відмінних від нуля.

r ( А ) = r.

Матриця А ^–1 називається оберненою матрицією до матриці А, якщо виконуються рівності.

АА^-1 = А^-1 А = Е

М

А₁₁ А₂₁ …. А_n1

А^-1 = A₁₂ A₂₂ …. A_n2 , де Аij – алгебраїчні доповнення.

A_1n A_2n ….. A_nn

1

= ___

│А│

атриця А – квадратна, її визначних │А │≠ 0

а₁₁ х₁ + а₁₂х₂ + …….. + a_1n x_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ……... + a_2n x_n = b₂

……………………………………

a_m1 x₁ + a_m2x₂ + ……. + a_mnx_n = b_m

Система алгебраїчних рівнянь називається лінійною, якщо вона може бути записана у вигляді

Де х₁, х₂, ……, х_n – невідомі; а_ij – дійсне числа, які називають коефіцієнти системи ; b_k (k = 1.2. ….. m) – вільні члени або їх називають правими частинами рівнянь.

Якщо, b_k = 0 для усіх k = 1,2, …., m, тоді систему називають однорідною. Якщо хоч би один вільний член b_k не дорівнює нулю, тоді система алгебраїчних рівнянь називається неоднорідною.

Розв’язком системи називається множина дійсних чисел α₁, α₂ ….. , α_n, підстановка яких у систему замість невідомих х₁, х₂, …. , х_n , перетворює кожне рівняння систем у тотожність.

Система лінійних алгебраїчних рівнянь , що має хоч би один розв’язок, називається сумісною, а система, що не має розв’язку, називається несумісною.

Методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь :

1. Правило Крамера. Якщо основний визначник ∆ ( А ) неоднорідної системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими не дорівнює нулю, то система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами.

∆к

х_к = ∆(А) , к = 1,2, …. ,n

де ∆к - допоміжний визначник, який одержується з основного визначника ∆ ( А ) шляхом заміни його к –го стовпця, стовпцем вільних членів системи.

2. Матричний метод. Систему лінійних алгебраїчних рівнянь можна записати у матричній формі : А Х = В. Якщо матриця А квадратна порядку n і її визначних ∆(А) не дорівнюю нулю, тоді існує обернена до А матриця А^-1. Одержуємо формулу : Х = А^-1В за якою знаходять розв’язок системи матричним методом.

3) Метод Гаусса. Система лінійних рівнянь розв’язувається методом послідовного виконання невідомих.

Метод послідовного виконання невідомих полягає в тому, що систему алгебраїчних рівнянь зводять до еквівалентної їй трикутної системи, а з утвореної трикутної системи невідомі знаходять послідовними підстановками.

3. Метод Гаусса – Жордана. Число рівнянь m і число n невідомих х_j може бути довільними. Метод послідовного виключено невідомих з усіх рівнянь системи, крім одного, називають методом Гаусса – Жордана. Цей метод є деякою модифікацією метода Гаусса.