Методичні рекомендації.

Первісною функцією для заданої функції f (х) називають таку функцію F(x), похідна якої дорівнює f (х), або диференціал якої дорівнює f (х)dx.

Первісна функція F (x) для заданої функції f (х) задовольняє рівності

F¹ (x) = f (x)

або dF (x) = f (x)dx.

Сукупність усіх первісних F(x) + C для заданої функції f (х) називають невизначеним інтегралом і позначають ∫f (х) dx . Отже, ∫ f (х) dx = F (x) +C

Основні (табличні) інтеграли грають важливу роль в інтегральному численні, тому їх треба запам’ятати.

Найбільш часто для знаходження заданого невизначеного інтеграла використовують методи: безпосереднього інтегруванні, заміни змінної

( підстановки), інтегрування частинами.

Якщо існує скінчена границя інтегральної суми при max ∆ х_к → 0, не залежна від способу ділення відрізна [a; в] на частини та добору точок _k , то ця границя називається визначеними інтегралом від функції f (х) на відрізку [a, в] і позначається f (х) dx

Із означення визначеного інтеграла та основних теорем про границі випливають властивості визначеного інтеграла, які слід застосовувати при обчисленнях інтегралів.

Визначений інтеграл застосовують для обчислення площі криволінійної трапеції, обмеженої лініями у = f (х); х = а, х = в за формулою S = f (x) dx

Звичайними диференціальними рівняннями називають такі рівняння, які містять шукану функцію однієї змінної та її похідні або диференціали.

Сумісні завдання диференціального рівняння та відповідної кількості початкових умов називають задачею Коші: F (x, у, у¹) = 0

у =у₀

х = х₀

Загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд у = (х₁ С₁, С₂, …, С_n) або Ф (х₁ у₁ С₁, С₂ …, С_n) = 0

Розв’язок Ф (х₁ у₁ С₁, С₂, …, С_n) = 0 називають загальним інтегралом диференціального рівняння.

Диференціальне рівняння першого роду вигляду

N (x) dx + M (у) dу = 0

називають рівнянням з відокремленими змінними.

Загальний розв’язок рівняння з відокремленими змінними знаходять за формулою ∫N (x) dx + ∫ M (у) dу =C

тобто шляхом його інтегрування.

Однорідним диференціальним рівнянням першого порядку називають рівняння, яке можна звести до вигляду у¹ = f (х, у), де функція f (х, у ) не змінюється при заміні х та у на t_x та t_у , тобто задовольняє умову f (t_x t_у) = f (х, у)

Однорідне диференціальне рівняння першого порядку шляхом підставки U =

можна звести до рівняння з відокремлюваними змінними.

Питання для самоконтролю.

1. Сформулюйте означення первісної функції у = f (х).

2. Назвіть властивості первісної.

3. Дати означення невизначеного інтеграла.

4. Наведіть основні властивості невизначеного інтеграла.

5. Сформулюйте основні правила інтегрування.

6. Які методи інтегрування існують?

7. Сформулюйте означення визначеного інтеграла.

8. Які властивості має визначений інтеграл?

9. Як за допомогою визначеного інтеграла обчислити площу фігури?

10. Як визначають диференціальне рівняння?

11. Сформулюйте означення задачі Коші.

12. Який розв’язок диференціального рівняння називають загальними?

13. Який вигляд має рівняння з відокремленими змінними і як знаходять його

загальний розв’язок?

7. Як знайти розв’язок задачі Коші?