Питання для самоконтролю.

1. Сформулювати означення похідної функції в точці.

2. Який механічний зміст похідної?

3. Який геометричний зміст похідної?

4. Дайте означення похідної другого порядку функції.

5. Який механічний зміст має похідна другого порядку?

6. Сформулюйте основні правила диференціювання.

7. Дайте означення диференціала функції.

8. Сформулюйте ознаку зростання (спадання) функції.

9. Сформулюйте необхідну і достатню умови існування екстремуму функції.

10. Наведіть схему дослідження функції на екстремум.

11. Сформулюйте необхідну і достатню умови існування точок перегину графіка функції.

Приклади розв’язування типових задач.

Приклад 1. Куля радіуса 20см нагріта. Внаслідок цього радіус її збільшився на

0,01см. Знайти наближено збільшення об’єму кулі.

Р озв’язування. Об’єм кулі знаходиться за формулою 4

U = 3 П R³

Необхідно знайти приріст функції U при заданому прирісту аргументу R, т.я. приріст аргументу мал (∆ R = dR = 0,01) , то приріст функції можна знайти як диференціал функції: 4

d_U = ( 3 ПR³)¹ dR; dU = 4ПR² dR, але

R = 20cм, dR =0,01cм, тому dU = 4 П 20² 0,01 dU = 16П см³.

Об’єм кулі збільшиться на 16 П см³.

Приклад 2. Дослідити функцію та побудувати її графік f (х) = 3х⁵ – 5х³ + 2

Розв’язування. 1) D ( f ) = R = ( -  , +  ), бо f - ціла раціональна функція.

2) Функція f ні парна ні непарна, бо f (- х) = 3 (- х)⁵ – 5 (- х)³ + 2 = -3х⁵ + 5х³ +2 ≠ ± f (х)

Графік функції не симетричний ні відносно осі ординат, ні відносно початку координат.

Функція неперіодична.

3) Функція асимптот не має.

4) Визначити нулі функції зможемо, якщо х = 0, то у = 2, бо f (0) = 2, якщо

у =0, то х = 1.

5. Переходимо до визначення критичних точок першого роду, інтервалів зростання та спадання.

у¹ = (3х⁵ – 5х³ + 2 )¹ = 15х⁴ – 15х²

15х⁴ – 15х² = 0

15х² (х² – 1) = 0

х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = -1 – критичні точки функції.

Складаємо таблицю з урахуванням критичних точок

х (-  ; -1) -1 (-1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; +  )

f ¹(х) + 0 - 0 - 0 +

f ¹(х) 4 2 0

max min

5. Знаходимо критичні точки другого роду

у^”. = (15 х⁴ – 15 х² ) ¹ = 60 х³ – 30 х

60 х³ – 30 х = 0

30 х ( 2 х² – 1 ) =0

х₁ = 0, х₂ = , х₃ = –

Складаємо таблицю

х (-  ; - ) - (- ; 0) 0 (0; ) ( ; + )

f¹¹ (х) – 0 + 0 - 0 +

f (х) 2,2  2 1,7 

точка точка точка

перегину перегину перегину

Розділ 2. Інтеграл. Диференціальні рівняння.

Література:

1.Барковський В.В., Барковський Н.В. Математика для економістів. Вища математика 1.ч. – К.: Національна академія управління, 1997-397с, 267-335.