Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Математика Лекция 2013.docx
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
2.1 Mб
Скачать

§9. Разложение функций в степенные ряды.

I. Непосредственное вычисление

II. Использование известных разложений (§8), действий с рядами, алгебраических формул,

единственности разложения, сдвига центра.

Примеры. 1)

{ }

2) {

}

III. Почленное интегрирование рядов.

Пример. Разложить в ряд Маклорена функцию

{ }

 

§10. Некоторые приложения степенных рядов.

  1. Приближенные вычисления.

Пример. Найти значение с точностью 0.001.

{ Так как это знакочередующийся ряд, то его остаток меньше первого отброшенного члена (гл.1,§11). Следовательно, (с точностью 0.001).}

2. Интегрирование с помощью рядов.

Пример.

3. Решение дифференциальных уравнений.

Примеры. 1. Найти четыре первых члена разложения в ряд Тейлора решения дифференциального

уравнения:

{ Вычислим производные в т. х0=1:

}

2*. Решить уравнение:

{Будем искать решение в виде степенного ряда:

Тогда Подставляя данные выражения в уравнение, имеем: или

В силу начальных условий: а0 = 0, а1 = 1. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях,

получим: Отсюда :

и }