Тейлор (1685-1731) – английский математик
Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.
2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х а.
Тогда между точками х и а найдется такая точка , что справедлива формула:
это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:
называется остаточным членом в форме Лагранжа.
Доказательство. Представим функцию f(x) в виде некоторого многочлена Pn(x), значение которого в точке х = а равно значению функции f(x), а значения его производных равно значениям соответствующих производных функции в точке х = а.
(1)
Многочлен Pn(x) будет близок к функции f(x). Чем больше значение n, тем ближе значения многочлена к значениям функции, тем точнее он повторяет функцию.
Представим этот многочлен с неопределенными пока коэффициентами:
(2)
Для нахождения неопределенных коэффициентов вычисляем производные многочлена в точке х = а и составляем систему уравнений:
(3)
Решение этой системы при х = а не вызывает затруднений, получаем:
…………………….
Подставляя полученные значения Ci в формулу (2), получаем:
Как было замечено выше, многочлен не точно совпадает с функцией f(x), т.е. отличается от нее на некоторую величину. Обозначим эту величину Rn+1(x). Тогда:
f(x) = Pn(x) + Rn+1(x)
Теорема доказана.
Рассмотрим
подробнее величину Rn+1(x).
y Как видно на рисунке, в
точке х = а значение мно-
f(x) Rn+1(x) гочлена в точности совпа-
дает со значением функции.
Pn(x) Однако, при удалении от точ-
ки х = а расхождение значе- ний увеличивается.
0 a x x
Иногда используется другая запись для Rn+1(x). Т.к. точка (a, x), то найдется такое число из интервала 0 < < 1, что = a + (x – a).
Тогда можно записать:
Тогда, если принять a = x0, x – a = x, x = x0 + x, формулу Тейлора можно записать в виде:
где 0 < < 1
Если принять n =0, получим: f(x0 + x) – f(x0) = f(x0 + x)x – это выражение называется формулой Лагранжа. (Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский математик и механик).
Формула Тейлора имеет огромное значение для различных математических преобразований. С ее помощью можно находить значения различных функций, интегрировать, решать дифференциальные уравнения и т.д.
При рассмотрении степенных рядов будет более подробно описаны некоторые особенности и условия разложения функции по формуле Тейлора.
Формула Маклорена.
Колин Маклорен (1698-1746) шотландский математик.
Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:
Мы получили так называемую формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.
Следует отметить, что при разложении функции в ряд применение формулы Маклорена предпочтительнее, чем применение непосредственно формулы Тейлора, т.к. вычисление значений производных в нуле проще, чем в какой- либо другой точке, естественно, при условии, что эти производные существуют.
Однако, выбор числа а очень важен для практического использования. Дело в том, что при вычислении значения функции в точке, расположенной относительно близко к точке а, значение, полученное по формуле Тейлора, даже при ограничении тремя – четырьмя первыми слагаемыми, совпадает с точным значением функции практически абсолютно. При удалении же рассматриваемой точки от точки а для получения точного значения надо брать все большее количество слагаемых формулы Тейлора, что неудобно.
Т.е. чем больше по модулю значение разности (х – а) тем более точное значение функции отличается от найденного по формуле Тейлора.
Кроме того, можно показать, что остаточный член Rn+1(x) является бесконечно малой функцией при ха, причем долее высокого порядка, чем (х – а)m, т.е.
.
Таким образом, ряд Маклорена можно считать частным случаем ряда Тейлора.
Представление некоторых элементарных функций
по формуле Тейлора.
Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.
Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 – 20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.
Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных технических задач.
Функция f(x) = ex.
Находим: f(x) = ex, f(0) = 1
f(x) = ex, f(0) = 1
……………………
f(n)(x) = ex, f(n)(0) = 1
Тогда:
Пример: Найдем значение числа е.
В полученной выше формуле положим х = 1.
Для 8 членов разложения: e = 2,71827876984127003
Для 10 членов разложения: e = 2,71828180114638451
Для 100 членов разложения: e = 2,71828182845904553
На графике показаны значения числа е с точностью в зависимости от числа членов разложения в ряд Тейлора.
Как видно, для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться 6-7 – ю членами ряда.
Функция f(x) = sinx.
Получаем f(x) = sinx; f(0) = 0
f(x) = cosx = sin( x + /2); f(0) = 1;
f(x) = -sinx = sin(x + 2/2); f(0) = 0;
f(x) = -cosx = sin(x + 3/2); f(0)=-1;
…………………………………………
f(n)(x) = sin(x + n/2); f(n)(0) = sin(n/2);
f(n+1)(x) = sin(x + (n + 1)/2); f(n+1)() = sin( + (n + 1)/2);
Итого:
Функция f(x) = cosx.
Для функции cosx, применив аналогичные преобразования, получим:
Функция f(x) = (1 + x).
( - действительное число)
…………………………………………………..
Т
огда:
Если в полученной формуле принять = n, где n- натуральное число и f(n+1)(x)=0, то Rn+1 = 0, тогда
Получилась формула, известная как бином Ньютона.
Пример: Применить полученную формулу для нахождения синуса любого угла с любой степенью точности.
На приведенных ниже графиках представлено сравнение точного значения функции и значения разложения в ряд Тейлора при различном количестве членов разложения.
Рис. 1. Два члена разложения
Рис. 2. Четыре члена разложения
Рис. 3. Шесть членов разложения
Рис. 4. Десять членов разложения
Чтобы получить наиболее точное значение функции при наименьшем количестве членов разложения надо в формуле Тейлора в качестве параметра а выбрать такое число, которое достаточно близко к значению х, и значение функции от этого числа легко вычисляется.
Для примера вычислим значение sin200.
Предварительно переведем угол 200 в радианы: 200 = /9.
Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения:
В четырехзначных таблицах Брадиса для синуса этого угла указано значение 0,3420.
На графике показано изменение значений разложения в ряд Тейлора в зависимости от количества членов разложения. Как видно, если ограничиться тремя членами разложения, то достигается точность до 0,0002.
Выше говорилось, что при х0 функция sinx является бесконечно малой и может при вычислении быть заменена на эквивалентную ей бесконечно малую функцию х. Теперь видно, что при х, близких к нулю, можно практически без потери в точности ограничиться первым членом разложения, т.е. sinx x.
Пример: Вычислить sin2801315.
Для того, чтобы представить заданный угол в радианах, воспользуемся соотношениями:
10 =
;
280
;
1
;
;
;
;
рад
Если при разложении по формуле
Тейлора ограничиться тремя первыми
членами, получим: sinx =
.
Сравнивая полученный результат с более точным значением синуса этого угла,
sin
=
0,472869017612759812,
видим, что даже при ограничении всего тремя членами разложения, точность составила 0,000002, что более чем достаточно для большинства практических технических задач.
Функция f(x) = ln(1 + x).
Получаем: f(x) = ln(1 + x); f(0) = 0;
f(x)
=
;
………………………………………
Итого:
Полученная формула позволяет находить значения любых логарифмов (не только натуральных) с любой степенью точности. Ниже представлен пример вычисления натурального логарифма ln1,5. Сначала получено точное значение, затем – расчет по полученной выше формуле, ограничившись пятью членами разложения. Точность достигает 0,0003.
ln1,5 = 0,405465108108164381
Разложение различных функций по формулам Тейлора и Маклорена приводится в специальных таблицах, однако, формула Тейлора настолько удобна, что для подавляющего большинства функций разложение может быть легко найдено непосредственно.
Ниже будут рассмотрены различные применения формулы Тейлора не только к приближенным представлениям функций, но и к решению дифференциальных уравнений и к вычислению интегралов.
Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
Дифференциал функции y = f(x) зависит от х и является главной частью приращения х.
Также можно воспользоваться формулой
Тогда абсолютная погрешность
Относительная погрешность
Более подробно применение дифференциала к приближенным вычислениям будет описано ниже.
При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая производит разложение любой функции в ряды Тейлора и Маклорена, а также вычисляет значение функции в заданной точке, выводит погрешность вычислений.
Дифференциальные уравнения
Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или все, кроме хотя бы одной производной, отсутствовать вовсе. Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного уравнения.
Порядок, или степень дифференциального уравнения — наивысший порядок производных, входящих в него.
Решением (интегралом)
дифференциального уравнения порядка
n называется
функция
y(x),
имеющая на некотором интервале (a,
b)
производные
до
порядка n
включительно и удовлетворяющая этому
уравнению. Процесс решения дифференциального
уравнения называется интегрированием.
Задача об интегрировании
дифференциального уравнения считается
решённой, если нахождение неизвестной
функции удается привести к квадратуре,
независимо от того, выражается ли
полученный интеграл в конечном виде
через известные функции или нет.
Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных.
В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных.
Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных производных — произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). После определения вида указанных постоянных и неопределенных функций решения становятся частными.
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения, зависящие от одной независимой переменной; они имеют вид
F(x,y,
или
F(x,y,
где
—
неизвестная функция,
зависящая от независимой переменной
штрих
означает дифференцирование по
Число
называется порядком
дифференциального уравнения. Наиболее
практически важными являются
дифференциальные уравнения первого и
второго порядка.
Дифференциальное уравнение первого порядка.
Содержат:1) независимую переменную х; 2) зависимую переменную у (функцию); 3) первую производную функции: .
Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций y=f(x)+C, которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.
Пример 1
Решить дифференциальное уравнение
В первую очередь нужно переписать
производную немного в другом виде.
Вспоминаем громоздкое обозначение
производной:
.
Итак, на первом этапе переписываем
производную в нужном нам виде:
На втором этапе всегда смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п.
Дифференциалы dy и
dx – это полноправные
множители и активные участники боевых
действий. В рассматриваемом примере
переменные легко разделяются перекидыванием
множителей по правилу пропорции:
Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».
Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».
Следующий этап – интегрирование
дифференциального уравнения. Всё
просто, навешиваем интегралы на обе
части:
Решениеv
дифференциального уравнения является
,
то есть, – это общий интеграл или
можно так представить: ln
Представим функцию в явном
виде: ln
или
или у=Сх
Пример 2
Найти частное решение
дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию
По условию требуется найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.
Сначала находим общее решение. В уравнении нет переменной «икс», но это не должно смущать, главное, в нём есть первая производная.
Переписываем производную в
нужном виде:
Очевидно, что переменные можно
разделить:
Интегрируем
уравнение:
Общий
интеграл получен. Здесь константа
помечена индексом 1. но её легко
преобразовать в другую константу. В
данном случае можно записать y=
или
На завершающем этапе нужно найти частное
решение, удовлетворяющее заданному
начальному условию
.
В чём состоит задача? Необходимо подобрать
такое значение константы
,
чтобы выполнялось заданное начальное
условие y
.
Оформить можно по-разному, но понятнее
всего, пожалуй, будет так. В общее решение
вместо «икса» подставляем ноль, а вместо
«игрека» двойку, т.е.
В общее решение
подставляем
найденное значение константы
–
это и есть нужное нам частное решение.
Пример 3
Решить
дифференциальное уравнение
Решение:
Переписываем производную в нужном нам
виде:
Оцениваем,
можно ли разделить переменные? Можно.
Переносим второе слагаемое в правую
часть со сменой знака:
Перекидываем
множители по правилу пропорции:
Переменные
разделены, интегрируем обе части:
Интеграл
левой части легко найти методом
подведения функции под знак дифференциала,
с
интегралом от котангенса расправляемся
стандартным приемом, переписываем его
как отношение cosx
на sinx:
В правой части у нас получился логарифм, согласно технической рекомендации, в этом случае константу тоже следует записать под логарифмом.
Теперь
пробуем упростить общий интеграл.
Поскольку у нас одни логарифмы, то от
них вполне можно (и нужно) избавиться.
Максимально «упаковываем» логарифмы.
И получаем решение в виде:
или окончательно общее решение
=
Задание для самостоятельной работы
Пример 4
Найти
частное решение дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию
y(1)=0.
Выполнить проверку.
Числовые ряды
Основные определения и понятия.
Пусть
мы имеем числовую последовательность
где
Приведем
пример числовой последовательности:
.
Числовой
ряд
– это сумма членов числовой
последовательности вида
В
качестве примера числового ряда можно
привести сумму бесконечно убывающей
геометрической прогрессии со знаменателем
q
= -0.5:
8-4+2-1+
.
называют
общим
членом числового ряда.
Здесь
(-16)
.
Частичная
сумма числового ряда
– это сумма вида
,
где n
– некоторое натуральное число.
называют
также n-ой
частичной суммой числового ряда.
К
примеру, четвертая частичная сумма ряда
есть
8-4+2-1=5.
Частичные
суммы
образуют
бесконечную последовательность частичных
сумм числового ряда.
Для
нашего ряда n
–ая
частичная сумма находится по формуле
суммы первых n
членов геометрической прогрессии , то
есть, будем иметь следующую последовательность
частичных сумм: 8,4,6,5….
Числовой
ряд
называется
сходящимся,
если существует конечный предел
последовательности частичных сумм
.
Если предел последовательности частичных
сумм числового ряда не существует или
бесконечен, то ряд
называется
расходящимся.
Суммой сходящегося числового ряда.
В
качестве примера расходящегося ряда
можно привести сумму геометрической
прогрессии со знаменателем большем,
чем единица1+2+4+….+
определяется
выражением
,
Еще
одним примером расходящегося числового
ряда является сумма вида
.
В этом случае n–ая
частичная сумма может быть вычислена
как
.
Предел частичных сумм бесконечен .
Сумма
вида
называется
гармоническим
числовым рядом.
Сумма
вида
где
– некоторое действительное число,
называется обобщенно
гармоническим числовым рядом.
Приведенных определений достаточно для обоснования следующих очень часто используемых утверждений, рекомендуем их запомнить.
Докажем, что гармонический ряд расходится.
Запишем гармонический ряд в развернутом виде:
и
наряду с ним рассмотрим ряд с меньшими
членами, который получен из
гармонического заменой 
на
;
,
,
на
;
,
,
…,
на
и
т.д.
Ясно, что члены этого ряда уменьшились по сравнению с гармоническим рядом, а это дает нам возможность найти частичные суммы этого ряда либо доказать, что ряд расходится. Действитель-но, получен ряд вида:
1+
+
+
и.т.д., сложив в этом ряде выделенные
группы, получим бесконечный ряд из сумм
.
Значит ряд расходится.
Обобщенный
гармонический ряд
сходится
при
> 1
и расходится при
.
Сходимость числовых положительных рядов
Одной из ключевых задач теории числовых рядов является исследование ряда на сходимость. На практике в подавляющем большинстве примеров сумму ряда находить не требуется. Для установления сходимости (расходимости) ряда можно не пытаться найти сумму ряда. Для этого используются специальные признаки, по которым можно опрендлить является ли ряд сходящимся или наоборот расходящимся. Таких признаков сходимости существует несколько: необходимый признак сходимости ряда, признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши и некоторые другие.
Когда какой признак применять? Это зависит от общего члена ряда , образно говоря – от «начинки» ряда. Так, рассмотрим необходимое условие сходимости знакоположительного ряда
Определение.
Если числовой ряд
сходится,
то предел его n-ого
члена равен нулю:
Почему признак называется необходимым? Потому-что, если общий член ряда стремится к нулю, то мы уже знаем на примере гармонического ряда, что это еще не значит, что ряд сходится. Или так: для того, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы его общий член стремился к нулю; но этого еще – не достаточно. Если общий член ряда стремится к нулю, то ряд может, как сходиться, так и расходиться! В таких случаях для решения примеров нужно использовать другие признаки, называемые достаточными признаками сходимости ряда.
Достаточные признаки сходимости знакоположительного ряда.
При использовании достаточных признаков для исследования числовых рядов на сходимость постоянно необходимо использовать вычисление пределов.
Во
первых отметим, что для сходимости
знакоположительного числового ряда
ряд
необходимо
и достаточно, чтобы последовательность
его частичных сумм была ограничена.
Начнем с признаков сравнения рядов. Их суть заключается в сравнении исследуемого числового ряда с рядом, сходимость или расходимость которого известна.
Первый признак сравнения рядов.
Пусть
и
-
два знакоположительных числовых ряда
и выполняется неравенство
для
всех n
= 1, 2, 3, ...
Тогда из сходимости ряда
следует сходимость
,
а из расходимости ряда
следует
расходимость
.
Первый
признак сравнения используется очень
часто и представляет собой очень мощный
инструмент исследования числовых рядов
на сходимость. Основную проблему
представляет подбор подходящего ряда
для сравнения. Ряд для сравнения обычно
(но не всегда) выбирается так, что
показатель степени его k-ого
члена равен разности показателей степени
числителя и знаменателя n-ого
члена исследуемого числового ряда. К
примеру, пусть
,
разность показателей степени числителя
и знаменателя равна 2
– 3 = -1,
поэтому, для сравнения выбираем ряд с
n-ым
членом
,
то есть, гармонический ряд. Рассмотрим
несколько примеров.
Пример.1
Исследуйте
числовой ряд
на
сходимость.
Решение.
Необходимое
условие сходимости числового ряда
выполняется, так как
.
Очевидно выполнение неравенства
для любого натурального значения k.
Ряд сходится, так как обобщенно
гармонический ряд
является
сходящимся для
> 1.
Таким образом, первый признак сравнения
рядов позволяет констатировать сходимость
исходного числового ряда.
Пример 2.
Определите
сходимость или расходимость числового
ряда
.
Решение. Проверим необходимое условие сходимости ряда
,
следовательно, необходимое условие
сходимости числового ряда выполнено.
Какой ряд выбрать для сравнения?
Напрашивается числовой ряд
,
а чтобы определиться с
внимательно
исследуем числовую последовательность
ln(lnn)
n=3,4,4,….
Члены числовой последовательности
ln(ln3),
ln(ln4),
ln(ln5),
…возрастают к бесконечности. Таким
образом, начиная с некоторого номера N
(а именно, с N
= 1619),
члены этой последовательности будут
больше 2.
Начиная с этого номера N,
справедливо неравенство .
Числовой ряд
сходится
в силу первого свойства сходящихся
рядов, так как получается из сходящегося
ряда отбрасыванием первых N
– 1
члена. Таким образом, по первому признаку
сравнения сходящимся является ряд
,
а в силу первого свойства сходящихся
числовых рядов сходится будет и ряд
.
Второй признак сравнения.
Пусть
и
-
два знакоположительных числовых. Если
,
то из сходимости ряда
следует
сходимость
.
Если
,,
то из расходимости числового ряда
следует
расходимость
.
Следствие.
Если и , то из сходимости одного ряда следует сходимость другого, а из расходимости следует расходимость.
Исследуем
ряд
на
сходимость с помощью второго признака
сравнения. В качестве ряда
возьмем
сходящийся ряд
.
Найдем предел отношения n-ых
членов числовых рядов:
=
Таким образом, по второму признаку сравнения из сходимости числового ряда
следует сходимость исходного ряда.
Пример 3.
Исследовать
на сходимость числовой ряд
.
Решение.
Проверим
необходимое условие сходимости ряда
.
Условие выполнено. Для применения
второго признака сравнения возьмем
гармонический ряд
.
Найдем предел отношения k-ых
членов:
=
Следовательно,
из расходимости гармонического ряда
следует расходимость исходного ряда
по второму признаку сравнения.
Для информации приведем третий признак сравнения рядов.
Третий признак сравнения.
Пусть
и
-
знакоположительные числовые ряды. Если
с некоторого номера N
выполняется условие
,
то из сходимости ряда
следует
сходимость
,
а из расходимости ряда
следует
расходимость
.
Теорема
(признак Даламбера). Если в ряде с
положительными членами
отношение
n+1-го члена ряда n
-му при n
имеет
конечный предел q, т.е.
,=q,
то: - ряд сходится в случае при q<1,
- ряд расходится в случае q>1.
В
случаях, когда предел не существует или
он равен единице, ответа на вопрос о
сходимости или расходимости числового
ряда теорема не дает. Необходимо провести
дополнительное исследование.
Решение примеров
Пример
1. Исследовать сходимость ряда
Решение.
Найдём
предел отношение
члена
ряда к
:
Так как значение предела больше единицы, то следует, что исходный ряд расходится.
Пример
2. Исследовать сходимость ряда по
признаку Даламбера.
Решение.
Найдём
предел отношение
члена
ряда к
:
=
=
.
Так
как значение предела меньше единицы
значит ряд сходится.
Пример
3.
Исследовать сходимость ряда:
Решение.
Составим предел отношение
=
после
сокращения останется выражение =
.
Имеем
0
Следовательно, данный ряд сходится.
Пример
4. Исследовать сходимость ряда:
Решение.
Составим формулу признака сходимости
Даламбера:q=
=
n
=
=
=
==
т.е. q>1.
Следовательно, исходный ряд расходится.
Пример
5.
Исследовать сходимость ряда:
.
Решение.
Запишем формулу Даламбера достаточное условие сходимости знакоположительного ряда:
q=
после сокращения и перехода к предельному
значению n
,
получим q=
Ответ: Исходный ряд сходится.
Задание для самостоятельной работы
Следовать сходимость ряда, используя общий член ряда и признак Даламбера сходимости рядов:
1.
Ответ:
q=5
, ряд расходится
2.
Ответ:
q=
, ряд сходится
3.
Ответ:
q=3
, ряд расходится
4.
Ответ:
q=
, ряд сходится
5.
Ответ:
q=
, ряд расходится
6.
Ответ:
q=49
, ряд расходится
7.
Ответ:
q=0
, ряд сходится
Радикальный признак Коши.
Пусть
-
знакоположительный числовой ряд. Если
,
то числовой ряд сходится, если
,
то ряд расходится.
Замечание.
Радикальный признак Коши справедлив,
если предел бесконечен, то есть, если
,
то ряд сходится, если
,
то ряд расходится.
Если
,
то радикальный признак Коши не дает
информацию о сходимости или расходимости
ряда и требуется дополнительное
исследование.
Обычно достаточно легко разглядеть случаи, когда лучше всего использовать радикальный признак Коши. Характерным является случай, когда общий член числового ряда представляет собой показательно степенное выражение. Рассмотрим несколько примеров.
Пример1.
Исследовать
знакоположительный числовой ряд
на
сходимость с помощью радикального
признака Коши.
Решение.
Необходимое
условие сходимости ряда выполнено, так
как
.
По
радикальному
признаку Коши получаем
.
Следовательно, ряд сходится.
Приме
2
.Сходится
ли числовой ряд .
Решение.
Воспользуемся
радикальным признаком Коши
,
=
<1,
следовательно, числовой ряд сходится.
Интегральный признак Коши.
Пусть - знакоположительный числовой ряд. Составим функцию непрерывного аргумента
y
= f(x),
аналогичную функции
.
Пусть функция y
= f(x)
положительная, непрерывная и убывающая
на интервале [a;
+
,
где
).
Тогда в случае сходимости несобственного
интеграла
сходится
исследуемый числовой ряд. Если же
несобственный интеграл расходится, то
исходный ряд тоже расходится.
При проверке убывания функции y = f(x) на интервале [a; + , может пригодится теория из раздела возрастание и убывание функции.
Пример 1.
Исследуйте
числовой ряд с положительными членами
на
сходимость.
Решение.
Необходимое
условие сходимости ряда выполнено, так
как
.
Рассмотрим функцию y=
.
Она положительная, непрерывная и
убывающая на интервале [2;+
.
Непрерывность и положительность этой
функции не вызывает сомнения, а на
убывании остановимся чуть подробнее.
Найдем производную:
.
Она отрицательная на промежутке [a; + ,, следовательно, функция убывает на этом интервале.
Таким
образом, функция y=
удовлетворяет
всем условиям интегрального признака
Коши. Воспользуемся им:
То есть, несобственный интеграл расходится, следовательно, расходящимся является исходный числовой ряд.
Пример 2.
Докажите
сходимость числового ряда
.
Решение.
Так
как
,
то необходимое условие сходимости
числового ряда выполнено.
Начиная
с k
= 4,
справедливо неравенство
.
Таким образом, если доказать сходимость
ряда
,
то в силу первого признака сравнения
будет сходиться ряд
тогда из первого свойства сходимости
рядов последует сходимость исходного
числового ряда.
Итак, осталось доказать сходимость числового ряда .
Так
как функция y=
положительная,
непрерывная и убывающая на интервале
(проверить
эти факты самостоятельно) то можно
воспользоваться интегральным признаком
Коши выполнив под интегралом замену
переменных типа ln(5x=8)=t
или подвести под знак дифференциала
выражение (5х+8), которая там представится,
как ln(5x+8):
=
=
=-
Таким
образом, несобственный интеграл
сходится,
следовательно, сходится исходный ряд
Этим доказана сходимость исходного
числового ряда.
Абсолютная и условная сходимость.
Вернемся
к произвольным числовым рядам A
=
;
Определение 1. Ряд А называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
Определение 2. Ряд А называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд A* расходится.
Понятие функционального. Степенной ряда
Функциональный же ряд состоит из функций:
=
В
общий член ряда
j,
обязательно входит переменная, которая
может обозначаться привычной для
математики « х-икс» или «z
–зет» или другая буковка.
Например,
так:
.
Как и числовой ряд, любой функциональный
ряд можно расписать в развернутом виде:
=
Все
члены функционального ряда
…–
это функции.
Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд.
Определение:
Степенной
ряд
– это ряд, в общий член
которого
входят целые
положительные степени
независимой переменной x.
Упрощенно степенной ряд во многих
учебниках записывают так:
,
где
–
это старая знакомая «начинка» числовых
рядов (многочлены, степени, факториалы,
зависящие только
от «эн»).
Простейший пример:
Посмотрим
на это разложение и еще раз осмыслим
определение: члены степенного ряда
содержат «иксы» в целых
положительных
(натуральных)
степенях.
Очень часто степенной
ряд можно встретить в следующих
«модификациях»:
или
,
где a –
константа.
Например:
Строго говоря, упрощенные записи степенного ряда , или
не
совсем корректны. В показателе степени
вместо одинокой буквы «эн» может
располагаться более сложное выражение,
например:
Или
такой степенной ряд:
=
….
Лишь бы показатели степеней при «иксах» были натуральными.
Сходимость степенного ряда.
Одной
из особенностей степенных рядов является
то, что их сходимость зависит от значения
х. Так, например, для ряда
при значениях х=1 или х
ряды являются расходящимся. В тоже
время при х
ряд представляет убывающую геометрическую
прогрессию и кончную сумму при х
Поэтому для степенных рядов характерной
задачей является определение интервала
сходимости, т.е. найти
множество значений «икс»,
при котором степенной ряд будет
сходиться.
Для любого степенного ряда возможны три случая:
1)
Степенной ряд сходится
абсолютно
на некотором интервале
.
Иными словами, если мы выбираем любое
значение «икс» из интервала
и
подставляем его в общий член степенного
ряда, то у нас получается абсолютно
сходящийся
числовой ряд. Такой интервал
и
называется интервалом
сходимости степенного ряда.
Радиус
сходимости,
если совсем просто, это половина
длины
интервала сходимости: R=
2)
Степенной ряд сходится
абсолютно
при любом
значении x.
То есть, какое бы значение «икс» мы не
подставили в общий член степенного ряда
– в любом случае у нас получится абсолютно
сходящийся
числовой ряд. Интервал сходимости и
область сходимости в данном случае
совпадают:
.
Радиус сходимости:
.
Степенной ряд сходится в единственной точке. Если ряд имеет вид , то он будет сходиться в единственной точке
x=0. В этом случае интервал сходимости и область сходимости ряда тоже совпадают и равны единственному числу – нулю: x=0. Если ряд имеет вид , то он будет сходиться в единственной точке x=a, если ряд имеет вид , то, понятно, – в точке «минус а». Радиус сходимости ряда во всех случаях, естественно, нулевой: R=0.
Исследование степенного ряда на cходимость
Задание часто формулируют примерно так : Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала.
Алгоритм решения довольно прост.
На
первом этапе находим интервал сходимости
ряда. Почти всегда необходимо использовать
признак Даламбера и находить предел
.
Технология применения исходит из
признака Даламбера точно такая же, как
и для числовых рядов. Значения этого
придела модуля ограничиваем единицей
потому, что по признаку Даламбера при
таком условии числовые ряды сходятся.
Либо используется признак Коши
Единственное отличие от числового ряда
– вычисление происходят под знаком
модуля.
Пример
1.
Найти область сходимости ряда:
Решение:
Составим
предельное отношение следующего
члена ряда к предыдущему
и вычислим этот предел:
q=
=
после сокращения и перехода к предельному
значению переменной n
получим: q=
,
ограничиваем значение этого предела
согласно услови Даламбера единицей,
т.е.
Таким образом, область сходимости нашего ряда есть -1< x < 1.
Отметим другие случаи значений предельных отношений Даламбера.
Так, если в пределе получается ноль, то алгоритм решения заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Область сходимости степенного ряда:
То есть, степенной ряд сходится при
любом значении «икс».
Если в пределе получается бесконечность, то алгоритм решения также заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Ряд сходится при х=0» (или при х=а либо х= -а»).
Если в пределе получается не ноль и не бесконечность, то у нас самый распространенный на практике случае – ряд сходится на некотором интервале
т.е.
,
или -
,
где а – это оставшееся значения отношение предела.
Вычисление области и радиуса сходимости степенного ряда.
Для нахождения радиуса сходимости. как уже отмечалось, обычно используют признаки Коши или Даламбера).
Пример
2.
Решение. Будем исследовать ряд на абсолютную сходимость, используя критерий Коши.
=
Для сходимости потребуем:
.
Тогда распиcав
модуль, получим: -3
.
Значит область сходимости ряда: (-3; 5),
радиус сходимости равен половине длины
интервала, т.е.R=
Пример 3. Решим этот же пример, используя признак Даламбера.
Составим
выражение предела отношений функций
По
признаку Даламбера ограничим значение
предела единицей:
или
,
т.е.
Ряд сходится в средине интервала (-3; 5).
Для определения сходимости на концах интервала следует подставить точки х=. – 3 и х=5 в исходный ряд и поверить сходимость числовых рядов:
Так. Пусть х=-3. Тогда имеем знакочередующийся ряд
- это есть расходящийся ряд, так как у
него нет конечной суммы.х=5. Имеем ряд
…Это ряд является расходящимися, так
как с некоторого момент члены ряда
будут представлять дроби, значения
числителя которых больше значения
знаменателя. Таким образом, окончательный
ответ: х
Разложение функции в степенной ряд. Ряды Тейлора и Маклорена.
Теорема.
Если
функция f(x)
n
раз дифференцируема в некоторой точке
,
то её можно разложить в окрестности
этой точки в степенной ряд
(многочлен n-
ой степени) вида:
=
(1)
при условии, что значения функции f(x) и многочлена и их производные всех порядков совпадают.
Тогда
функцию f(x)
можно представить как разложение по
степеням (х-
в
виде ряда:
f(x)=f(
+…+
,
(2)
где коэффициенты выражены через значения производных в точке и порядковые факториалы,
-
остаток разложения.
Формула (2) называется формулой Тейлора.
Доказательство.
Пусть
имеется функция f(x)
. Необходимо представить функцию f(x)
многочленом
вида (1), которые удовлетворяют условию
теоремы, т.е. имеют производные n-
го порядка и их значения совпадают в
точке
Так,
предположим, что х=
.
Получим f(
Тогда из уравнения (1) следует, что
Значит
f(
Теперь дифференцируем f(x) и .
(3)
при
х=
получим
таким образом, имеем
(4)
Далее берём производные второго порядка:
);
из равенства (3)
(5)
Полагая
х =
,
получим
(6)
Итак,
продолжая дифференцировать последовательно
третий раз, четвёртый и т.д., получим:
,
…
(7)
Теперь в знаменателях значений коэффициентов (7) произведение чисел заменим факториалами и запишем выражение функции f(x):
f(x)=
f(
(8)
Уравнение (8) называется формулой Тейлора,
где
-остаточный
член формулы Тейлора в форме Лагранжа
Если разложение функции осуществлять в окрестности точки х=0, то полученный ряд будет представлен более простой и удобной для работы уравнением и называется формулой Маклорена или рядом Маклорена:
f(x)=
f(
(8)
Разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена.
В
теории степенных рядов процедура
разложение функций в ряд Маклорена
используется во многих приложениях,
таких как интегрирование, приближённое
вычисление, дифференциальные уравнения
и т.д. Для более удобного пользования
такими процедурами имеется набор
элементарных функций и их представления
в ряд Маклорена, с помощью которых
существляется разложение более сложных
функции. В практике пять таких функций:
Вывод формул разложения для этих функций
весьма прост и делается по такой же
схеме, как был вывод формулы Тейлора.
Хотя лучше и х запомнить и использовать
как справочник.
1.
=
(1)
2.
sinx=x -
+
(2)
3.
cosx= 1-
(3)
4.
ln(1+x)=x
-
+
x
(4)
5.
x
(5)
Примеры разложения других функций в ряд Маклорена
Рассмотрим несколько примеров разложения в ряд Маклорена более «сложные» функции с использованием элементарных разложений.
y=ln(1- x) x
Для
этого используем формулу разложения
функции ln(1+x),
только вместо переменной х необходимо
подставить (- х).
ln(1-x)
=-x
+
-…==
- x
….
Легко заметить, что полученный ряд имеет все отрицательные элементы, что позволяет представить разложение более сложной функции, а именно:
у=
x
-
+
–( - x
….)=2(x+
.
Таким образом, получили знакоположительный
ряд с нечётными степенями.
Заметим,
что используемые выше формы разложения
логарифмов допустимы лишь при значениях
переменной х в области (-1;1). Теперь с
помощью формулы
можно представлять в степенной ряд и
соответственно вычислять логарифм
любого числа.
Для
этого предварительно сделаем подготовку.
Представим,
что необходимо вычислить lnM, где
М – это число >2. Запишем равенство М=
Выразим
х относительно М: М(1-х)=1+х, отсюда х=
.
Вычислить с точностью 0,001 натуральный логарифм числа М=5.
Решение:
ln5=
=2(x+
)=2(
)=2(0.6666+0.0987+0.0263+0.0028)=1.606
у =
Для
ражложения этой функции в ряд Маклорена
можно использовать формулу (5)
только вместо показателя
надо поставить (-1)
Решение.
у
=
=1-х+
********************
5.
Замечание.
Ряд Маклорена является разложением
бесконечно дифференцируемой функции
по базису {1, x,
x2,
…,xn,
…} (в интервале сходимости).