2. Для решения задачи симплекс-методом приведем систему неравенств
2х1 +2х2 ≤ 20
х1 +х2 ≤ 10
2х1 +6х2 ≤ 36
х1 +х2 ≥ 2
х1;х2 ≥ 0
к форме равенств с помощью неотрицательных дополнительных переменных Yi(i=1;2;3;4):
2х1
+2х2
+y1
= 20
х1 +х2 +y2 = 10
2х1 +6х2+y3 = 36
-х1 -х2 + y4= -2
-7х1 -3х2+Z = 0
При этом Xj≥0 (j=1;2); Yi ≥0 (i=1;2;3;4).
Для решения задачи запишем систему с помощью полных симплекс таблиц (Таблица 1):
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|||
|
вi |
х1 |
х2 |
y3 |
y4 |
y5 |
y6 |
вi/ х1 |
Решение |
|
Sy3 |
20 |
2 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
10 |
х= (0;0;20;10;36;-2) |
|
Sy4 |
10 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
10 |
Z=0 |
|
Sy5 |
36 |
2 |
6 |
0 |
0 |
1 |
0 |
18 |
|
|
Sy6 |
-2 |
-1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
|
|
Z |
0 |
-7 |
-3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
выбираем строку с отрицательным свободным элементом (Sy6) –«-2»
выбираем отрицательный свободный элемент-«-1» в столбце (Х1)- «разрешающий столбец»
свободные члены столбца вi делим на соответствующие элементы разрешающего столбца (X1), и наименьшее положительное число будет соответствовать разрешающей строке – «Sy6»
на пересечении находится разрешающий элемент – «-1».
Таблицу №2 заполняем по правилу:
на месте разрешающего элемента стоит величина ему обратная
элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент
элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент и знак меняется
остальные элементы новой таблицы находятся по формуле прямоугольника:
новый элемент=старый элемент -(соотв.элемент разреш.строки*соотв.элемент разреш.столбца) /(разрешающий элемент).
Таблица 2;3; – избавляемся от отрицательных чисел в строке Z, по отрицательному числу определяется разрешающий столбец, а далее см. описание выше.
Таблица 2 |
|||||||||
|
вi |
Sy6 |
х2 |
y3 |
y4 |
y5 |
y6 |
вi/ Sy6 |
Решение |
Sy3 |
16 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
2 |
8 |
x=(2;0;16;8;32;0) |
Sy4 |
8 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
8 |
z=14 |
Sy5 |
32 |
2 |
4 |
0 |
0 |
1 |
2 |
16 |
т.Е(2;0) |
х1 |
2 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
-2 |
|
Z |
14 |
-7 |
4 |
0 |
0 |
0 |
-7 |
|
|
Таблица 3 |
|||||||||
|
вi |
Sy3 |
х2 |
y3 |
y4 |
y5 |
y6 |
вi/ х2 |
Решение |
Sy6 |
0 |
-2 |
0 |
1 |
-2 |
0 |
0 |
- |
x=(10;0;0;8;16;0) |
Sy4 |
8 |
0,5 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
- |
z=70 |
Sy5 |
16 |
-2 |
4 |
0 |
-2 |
1 |
0 |
4 |
т.D(10;0) |
х1 |
10 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
10 |
|
Z |
70 |
7 |
4 |
0 |
7 |
0 |
0 |
|
|
В таблице 3 найдено максимальное решение и координаты т.D (т.max). В таблице 3 в строке Z отсутствуют отрицательные элементы, но х2 располагается в столбце, поэтому, столбец Х2 принимаем за разрешающий, и оптимизируем план. Таблица 4 |
|||||||||
|
вi |
Sх3 |
Sх4 |
y3 |
y4 |
y5 |
y6 |
|
Решение |
Sy6 |
0 |
-2 |
0 |
1 |
-2 |
0 |
0 |
|
x=(6;4;0;8;0;0) |
х2 |
8 |
0,5 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
z=54 |
Sy5 |
4 |
-0,5 |
0,25 |
0 |
-0,5 |
0,25 |
0 |
|
т.С(6;4) |
х1 |
6 |
1,5 |
-0,25 |
0 |
1,5 |
-0,25 |
0 |
|
|
Z |
54 |
9 |
-1 |
0 |
9 |
-1 |
0 |
|
|
Оптимальный план производства продукции (т.С(6;4));
Оптимальная прибыль Z=54
Остатки каждого вида сырья (0;8;0)