5.2. Круглый цилиндрический волновод

В цилиндрическом волноводе без потерь электромагнитное поле, так же как и в прямоугольном волноводе, может быть представлено в виде совокупности поперечно-электрических и поперечно-магнитных полей различных типов. Поперечные составляющие векторов поля могут быть выражены через продольные составляющие и подобно тому, как это было сделано для прямоугольного волновода.

Уравнения для проекций и в цилиндрической системе координат (рисунок 5.2) выглядят аналогично друг другу:

1. ,

2. . (5.41)

Р ешение уравнения (1) системы (5.41) будет иметь вид

. (5.42)

Граничное условие при будет удовлетворено, если производная функции Бесселя будет равна нулю при или

, , (5.43)

где значок “ ”означает производную по аргументу.

В теории бесселевых функций установлено, что для каждого значения имеется бесконечное счётное множество корней уравнения . Мы будем обозначать эти корни , где - порядковый номер корня. Значения нескольких первых корней при приведены в таблице 5.1.

Таблица 5.1 – Корни производных функций Бесселя

Номер корня	=0	=1	=2
1	3,832	1,840	3,054
2	7,016	5,335	6,705
3	10,174	8,536	9,965

Из равенства (5.43) вытекает, что

,

откуда

, , , (5.44)

и, соответственно,

. (5.45)

Волна будет распространяться по волноводу, если

.

Критическая частота поля теперь определяется выражением

или

, (5.46)

а критическая длина волны

. (5.47)

Из таблицы 5.1 следует, что наименьшим корнем уравнения является корень , равный 1.84. Стало быть, волна (или ) при данном радиусе волновода будет иметь наибольшую критическую длину

.

Силовые линии векторов и волны в сечении круглого волновода изображены на рисунке 5.3

Формулы для групповой и фазовой скоростей волны в круглом волноводе имеют следующий вид:

;

. (5.48)

Характеристическое сопротивление

.

Решение уравнения (2) системы (5.41) выглядит аналогично (5.42)

,

Это решение будет удовлетворять условию при , если

,

где – корни уравнения , ,

Значения первых корней полученного уравнения при приведены в таблице 5.2

Таблица 5.2 – Корни уравнения

Номер корня	=0	=1	=2
1	2,405	3,832	5,135
2	5,520	7,016	8,417
3	8,654	10,173	11,620

Критические частоты поперечно-магнитных полей круглого волновода (или ) равны

, (5.49)

а критические длины волн

. (5.50)

Если или , то поле будет распространяться по волноводу в виде бегущей волны.

Так как корень принимает наименьшее значение при , , то самую низкую критическую частоту (наибольшую критическую длину волны) будет иметь волна ( ). Подставляя значение в (5.50), получаем

.

Для одномодового режима работы круглого волновода с воздушным заполнением ( )

.