5.1.1. Поперечно-электрические поля (те)

Согласно (5.8) поле в волноводе определяется продольной составляющей , которая удовлетворяет уравнению (5.6). Граничные условия для функции можно найти из общих граничных условий (5.1). Последние применительно к полю выглядят так:

при , ;

при , . (5.10)

Отсюда с учетом (5.8) будем иметь

при , ;

при , . (5.11)

Используя метод разделения переменных (метод Фурье), решение уравнения (5.6) представим в виде

, (5.12)

где и – функции, зависящие соответственно от и . Подставляя последнее выражение в уравнение (5.6) и проводя несложные преобразования, получаем

,

откуда следует

, и ,

где и – произвольные постоянные разделения.

Общее решение этих дифференциальных уравнений запишем следующим образом:

;

.

Таким образом, проекция вектора будет равна

, (5.13)

причем постоянная распространения

. (5.14)

Чтобы найти входящие сюда неизвестные величины, воспользуемся граничными условиями (5.11). Из первого условия вытекает , и , где

Из второго уравнения получается , и , где

Следовательно,

; (5.15)

; (5.16)

, (5.17)

где .

Подставляя теперь значение в равенство (5.8), найдем выражения для проекций векторов поперечно-электрического поля в прямоугольном волноводе:

;

;

,

;

;

. (5.18)

Как видно из полученных равенств, при все компоненты векторов, за исключением , обращаются в нуль. Следовательно, числа и могут принимать здесь любые значения, равные 0, 1, 2, …, но они не должны одновременно равняться нулю. Таким образом, в прямоугольном волноводе могут существовать бесчисленное множество типов поперечно-электрических полей, характеризуемых различными значениями и (поля или магнитные волны ). Согласно (5.18), вдоль сторон и распределение поля имеет форму стоячей волны, причем величина определяет число полуволн, укладывающихся на интервале , а – число полуволн на интервале .

Поле (5.18), очевидно будет распространяться по оси в виде бегущей волны, если постоянная распространения (5.16) равна чисто мнимой величине

, (5.19)

где – фазовая постоянная (волновое число).

Для этого необходимо, чтобы при заданных выполнялось неравенство

.

Если же

,

то поле становится затухающим. Стало быть, в волноводе поле будет распространяющимся, если частота колебаний больше некоторой критической частоты , определяемой из условия , то есть

,

откуда

, (5.20)

где .

Критическая длина волны , соответствующая найденной критической частоте, рассчитывается по формуле

. (5.21)

Условие распространения волны по волноводу имеет вид

или . (5.22)

Нетрудно далее рассчитать фазовую скорость и длину волны в волноводе.

Фазовая скорость равна

, (5.23)

а длина волны

. (5.24)

Следовательно, величина отличается от длины волны , определенной для свободного пространства с параметрами: , .

Групповая (энергетическая) скорость

. (5.25)

Из выражений (5.23) и (5.25) для фазовой и групповой скоростей следует, что прямоугольный волновод является дисперсной средой, в которой , а при условии .

Характеристическое сопротивление волновода в случае поперечно-электрических (магнитных) волн равно

. (5.26)