5.1.2. Поперечно-магнитные поля (тм)

Поперечно-магнитные поля в волноводе определяются проекцией , которая удовлетворяет дифференциальному уравнению (5.7) и граничным условиям

при , , , . (5.27)

Так как уравнения (5.6) и (5.7) совершенно аналогичны, то и решение последнего будет иметь точно такой же вид, как и (5.13), то есть

, (5.28)

причем

и . (5.29)

Удовлетворяя граничным условиям (5.27), получаем:

, , ;

, , (5.30)

С учетом этого из (5.28) будем иметь

, (5.31)

где .

Подставляя найденные значения в формулы (5.9), получаем выражения для составляющих векторов поперечно-магнитных полей в прямоугольном волноводе:

;

;

;

;

;

. (5.32)

Как и для поперечно-электрических полей, для поперечно-магнитных полей имеют место соотношения:

;

.

Таким образом, в прямоугольном волноводе может существовать бесчисленное множество типов поперечно-магнитных полей, характеризуемых различными числами и (поля или ). Эти числа имеют тот же физический смысл, что и в случае полей . Легко заметить, что при или равным нулю, векторы поля повсюду обращаются в нуль. Стало быть, в рассматриваемом волноводе поля , , не существуют и величины или теперь будут равны и

Повторяя далее рассуждения, аналогичные предыдущим, можно получить выражения для критических частот, критических длин волн и других параметров поперечно-магнитных волн различных типов. Все они по виду совпадают с формулами, относящимся к поперечно-электрическим волнам, за исключением выражения для или

. (5.33)

Простейшей волной этого класса полей является или .

Итак, все возможные типы решений в прямоугольном волноводе исчерпываются полями (5.18) и (5.32). Эти поля носят наименование собственных полей, или собственных волн прямоугольного волновода. Очевидно, любое другое поле с более сложной конфигурацией в точках, где нет источников, может быть представлено в виде совокупности собственных полей.

5.1.3. Волна ( ) в прямоугольном волноводе

Самую простую структуру поля в прямоугольном волноводе имеют поперечно-электрические волны ( ) и ( ). Обе они обладают идентичными свойствами, поэтому мы ограничимся рассмотрением только волны .

Полагая в выражениях (5.18) , , для проекций векторов и этой волны получаем:

;

;

;

;

, (5.34)

где

, (5.35)

– длина волны в среде, заполняющей волновод,

– длина волны в волноводе.

Согласно (5.20) критическая частота поля равна

, (5.36)

и, соответственно, критическая длина волны

. (5.37)

Если волновод заполнен воздухом, то есть , , то

, . (5.38)

длина волны в волноводе

(5.39)

где – длина волны в свободном пространстве.

Из формул (5.36)…(5.38) видно, что величины и в данном случае не зависят от размера “ ” поперечного сечения волновода. Кроме того, у поля оказывается больше критических длин волн всех других типов, включая и поле при условии, что (для поля критическая длина волны равна ). Вследствие этого допустимые поперечные размеры волновода для заданной частоты колебаний получаются самыми малыми, если в нём возбуждается волна . Эта причина наряду с простой конфигурацией поля, привела к тому, что на практике в прямоугольных волноводах, как правило, применяется волна .

Как следует из формулы (5.34), силовые линии электрического поля параллельны оси . Магнитные силовые линии, как всегда, замкнуты. Они лежат в плоскости, перпендикулярной электрическим силовым линиям и окружают вертикально направленные токи смещения.

При распространении волны по волноводу на стенках его появляется поверхностный электрический ток. Вектор плотности тока, как известно, связан с вектором напряжённости магнитного поля соотношением

,

где – нормаль к стенке.

Из этого равенства следует, что составляющей напряжённости магнитного поля в волноводе соответствует продольный ток с плотностью , причём при , а при .

Распределение плотности продольного тока в плоскости =0 в пределах для какого-то фиксированного момента времени определяется соотношением для (5.34)

.

Так как обращается в нуль при и , то продольный ток на боковых стенках волновода также равен нулю.

Составляющей поля (5.34) соответствуют поперечные электрические токи, текущие по стенкам волновода в направлениях, перпендикулярных оси

.

Максимальная плотность поперечных токов будет на боковых стенках, а при значении

.

Величина мощности, проходящей через поперечное сечение волновода, определяется выражением

.

При подстановке и из (5.34) получаем

. (5.40)

С помощью этого выражения можно вычислить величину , как функцию передаваемой мощности.

Прямоугольный волновод в одномодовом (одноволновом) режиме работает на волне в диапазоне частот . Значения верхней и нижней частот принимаются примерно равными: , .

Относительная полоса одномодового режима приблизительно равна

,

где .

Эти соотношения лежат в основе разработки стандартного ряда волноводов, приведенного выше.