4.3.2. Случай поляризации волны в плоскости падения

(параллельная поляризация)

Теперь магнитный вектор имеет лишь одну составляющую , параллельную плоскости раздела, а электрический вектор – две составляющие и (рисунок 4.4).

Для составляющих поля в первой среде получаем:

;

;

, (4.23)

Для составляющих поля во второй среде:

;

;

. (4.24)

Из граничных условий , , , , следует:

;

,

откуда

; .

Коэффициенты отражения и преломления для параллельно поляризованной волны определяются выражениями:

, (4.25)

. (4.26)

4.3.3. Наклонное падение плоской волны на границу раздела

двух диэлектриков

В случае двух идеальных диэлектрических сред, как было показано ранее, угол преломления определяется равенством

.

Для немагнитных сред , поэтому

. (4.27)

Отношение волновых сопротивлений

. (4.28)

Представим выражения для коэффициентов отражения , и преломления , в несколько ином виде, учитывая соотношения (4.27) и (4.28):

или

; (4.29)

. (4.30)

Аналогично для и :

; (4.31)

. (4.32)

Выражения (4.29)…(4.32) носят название формул Френеля для перпендикулярной и параллельной поляризаций.

• Полное прохождение. Покажем, что для волн с параллельной поляризацией существует угол падения, именуемый углом Брюстера , при котором отраженная волна отсутствует, то есть полностью переходит во вторую среду и :

при , так как .

При этом .

По закону Снеллиуса

.

Таким образом

или . (4.33)

Для перпендикулярной поляризации угол полного прохождения не существует. всегда больше нуля. Угол Брюстера называется также углом полной поляризации. Если волна с произвольной поляризацией направлена на диэлектрическую пластину под углом , отраженный луч имеет только перпендикулярную поляризацию, так как параллельно поляризованная компонента полностью проходит через пластину.

Диэлектрические пластины и шайбы, служащие для герметизации и крепления в различных устройствах, часто ставят под углом Брюстера. Тогда они полностью прозрачны для проходящих волн.

• Полное отражение. Рассмотрим случай, когда волна проходит из оптически более плотной среды в менее плотную, то есть . При этом

, .

При некотором угле падения, который называется критическим углом

, ,

, . (4.34)

В этом случае вектор Пойнтинга во второй среде будет направлен вдоль границы. При углах, превышающих , наблюдается явление полного внутреннего отражения. В этом случае должен быть больше единицы, что для вещественных , разумеется, невозможно. Выясним, какой характер будет иметь поле во второй среде, если .

Угол преломления представим в виде комплексного угла:

и

.

Известно, что

;

,

где – косинус гиперболический,

– синус гиперболический.

Следовательно,

.

Таким образом, при комплексном угле становится комплексной величиной. Чтобы превратился в действительную величину, необходимо положить , при этом , . Тогда . При этом может принимать любые действительные величины, начиная с единицы. В этом случае неравенство выполняется.

Итак,

,

,

где – монотонно изменяющаяся функция от до .

Поле во второй среде имеет вид

. (4.35)

Из (4.35) следует, что поле во второй среде имеет форму волны, распространяющейся вдоль плоскости раздела. Фазовый множитель такой волны равен

.

Вдоль нормали к поверхности раздела, то есть в положительном направлении оси , амплитуды поля убывают по экспоненциальному закону. Для перпендикулярной поляризации

.

Проекция сдвинута по фазе относительно проекции на . Следовательно, энергия поля вглубь второй среды не передается. Аналогичные результаты получаются также и для волны, поляризованной в плоскости падения.

Определим коэффициенты отражения и , сделав подстановку :

;

. (4.36)

Легко видеть, что модули числителей и знаменателей в обоих случаях равны и , значит амплитуды отраженной и падающей волн равны. Отраженная волна уносит всю энергию, принесенную падающей волной. Парадоксальным кажется тот факт, что подстановка тех же выражений в формулы для коэффициентов преломления, не приводит к и , то есть при полном отражении волны в среду 1 одновременно создается поле в среде 2. Каково оно, мы уже определили. Экспоненциальное убывание амплитуды волны не связано с потерями во второй среде (они здесь не учитываются), а определяются тем, что в среднем энергия из первой среды во вторую не переходит. Следовательно, волна проникает во вторую среду, проходит в ней какой-то путь и полностью возвращается в первую среду. Более детальные исследования показывают, что волна в среде 2 движется по эллиптическим траекториям, проходя определенное расстояние вдоль оси .

Поверхностная волна в среде 2 не существует изолированно от поля в среде 1, представляющего собой сумму падающей и отраженной волн. Возникновение поверхностной волны можно рассматривать как проявление “инерционности” при полном отражении. Волна не может изменить сразу направление своего движения.