4.2. Уравнение плоской волны, движущейся

в произвольном направлении

Составим общее уравнение, пригодное для случая, когда направление движения волны, определяемое вектором Пойнтинга (направлением луча), не совпадает ни с одной из координатных осей (рисунок 4.2).

К омплексная амплитуда волны будет равна

, (4.8)

где – расстояние от начала координат до рассматриваемой точки пространства, при .

Векторы поля однородной плоской волны, распространяющейся в направлении , будут одинаковыми во всех точках волновой поверхности. Обозначим – радиус-вектор до произвольной точки на волновой поверхности, тогда расстояние . В прямоугольной системе координат:

;

,

их произведение равно

, (4.9)

где – углы между направлениями распространения волны и осями координат.

Таким образом, в соответствии с (4.8)

. (4.10)

Если волна распространяется в среде без потерь, то постоянная распространения . В этом случае вместо (4.8) будем иметь

.

Обозначим и назовем эту величину волновым вектором. Этот вектор в прямоугольной системе координат имеет вид

,

где – проекции волнового вектора на оси координат.

4.3. Отражение плоских волн при наклонном падении

Предположим, что падающая волна имеет линейную поляризацию. При этом нам необходимо определить так называемую плоскость падения. Последняя представляет собой плоскость, проходящую через направление распространения волны и нормаль к плоскости раздела сред.

Анализ проведем для двух частных случаев:

• волна поляризована нормально к плоскости падения (плоскость поляризации волны и плоскость падения взаимно перпендикулярны);

• волна поляризована в плоскости падения.

Общий случай произвольной ориентации вектора можно рассматривать как суперпозицию частных случаев.

4.3.1. Случай поляризации волны, нормальной к плоскости падения

(перпендикулярная поляризация)

На рисунке 4.3 показаны направления осей координат и векторов и падающей, отраженной и преломленной волн. Электрические векторы всех волн направлены перпендикулярно к плоскости падения и параллельно оси . Магнитные векторы имеют составляющие и , и их положительные направления выбраны так, чтобы в направлении оси вектор Пойнтинга отраженной волны был бы обратен вектору Пойнтинга падающей и преломленной волн.

В соответствии с уравнением волны, движущейся в произвольном направлении, для падающей волны имеем:

;

. (4.11)

Для отраженной волны:

;

. (4.12)

Во второй среде имеется лишь преломленная волна:

;

. (4.13)

Результирующее поле в первой среде представляет собой сумму полей падающей и отраженной волн. На границе раздела двух сред касательные составляющие векторов и в первой и второй средах равны между собой.

Так как электрические векторы параллельны плоскости раздела, то, полагая , получаем на основании (4.11)…(4.13)

. (4.14)

Уравнение (4.14) справедливо при любом , в том числе и при .

Тогда

. (4.15)

Это возможно при выполнении условия

,

откуда

, , (4.16)

что позволяет сформулировать следующие законы:

• закон отражения – угол отражения равен углу падения ,

• закон преломления Снеллиуса – отношение синусов углов преломления и падения равно отношению комплексных коэффициентов распространения в первой и второй средах

. (4.17)

Из этого равенства следует, что в общем случае угол преломления может быть комплексным. Если ограничиться рассмотрением диэлектриков с несущественными потерями , то

, (4.18)

где , – коэффициенты преломления сред.

Закон Снеллиуса в записи

известен из оптики. На границе раздела сред, то есть при равны касательные составляющие магнитного вектора , то есть

.

Из (4.11)…(4.13) следует при и :

или

. (4.19)

Из уравнений (4.15) и (4.19) можно определить значения и через комплексную амплитуду на поверхности раздела:

;

.

Соответственно для коэффициентов отражения и преломления , получаем для нормально поляризованной волны:

; (4.20)

. (4.21)

Результирующее поле в первой среде можно записать в виде:

;

;

, (4.22)

Уравнения для составляющих и показывают, что вдоль плоскости раздела движется бегущая волна с постоянной распространения .