5. Закон сохранения момента импульса Основные формулы

Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси:

L = I ω,

где I – момент инерции твердого тела относительно данной оси, ω – угловая скорость его вращения.

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси:

L = m υ r,

где m – масса частицы, υ – ее скорость, r – расстояние от линии, вдоль которой движется частица, до данной оси.

В замкнутой системе частиц полный момент импульса не меняется:

ΣL_i = const.

Примеры решения задач

Задача 16

Человек массой m₁ = 60 кг находится на неподвижной платформе массой m = 100 кг. Какое число оборотов в минуту будет делать платформа, если человек будет двигаться по окружности радиуса 5 м вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы равна 4 км/ч. Радиус платформы 10 м. Считать платформу однородным диском, а человека – точечной массой.

Решение

Первоначально платформа с человеком покоилась,

момент импульса этой системы был равен нулю. Когда человек начнет двигаться по платформе, платформа будет вращаться в противоположном направлении. Если расстояние от человека до оси вращения платформы r, в месте нахождения человека u = w r. Таким образом, если человек движется относительно платформы со скоростью

υ, то относительно земли он будет двигаться со скоростью υ – w r, его момент импульса относительно оси платформы L₁ = m₁(υ – wr)r. Момент импульса платформы относительно ее оси:

L = – Iw,

где I – момент инерции платформы.

Поскольку платформа представляет собой однородный диск, то ее момент инерции относительно оси, проходящей через центр:

I = mR².

Запишем закон сохранения момента импульса для данной системы:

O = L₁ + L = m₁(υ – w r) r – mR²w,

отсюда можно определить угловую скорость вращения платформы:

w = .

Число оборотов платформы в минуту определится из соотношения:

n = 60 = .

Подстановка числового значений дает:

n = = 0,49 об/мин.

Задачи для самостоятельного решения

1. Горизонтальная платформа массой m = 25 кг и радиусом R = 0,8 м вращается с частотой ₁ = 18 мин^-1. В центре стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определить частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от I₁ = 3,5 кг·м² до I₂ = 1 кг·м².

2. Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень длиной l = 2,5 м и массой m = 8 кг, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Эта система (скамья и человек) обладает моментом инерции I  = 10 кг·м² и вращается с частотой ₁ = 12 мин^-1. Определить частоту ₂ вращения системы, если стержень повернуть в горизонтальное положение.

3. Человек массой m = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой М = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой v₁=10 мин^-1, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека — точечной массой, определить, с какой частотой будет тогда вращаться платформа.

4. Человек массой m = 60 кг находится на неподвижной платформе массой М = 100 кг. Какое число оборотов в минуту будет делать платформа, если человек будет двигаться по окружности радиусом R = 5 м вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы υ = 4 км/ч. Радиус платформы R = 10 м. Считать платформу однородным диском, а человека  точечной массой.

5. Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы. Определять, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы, если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы.

6. Человек массой m = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы радиусом R = 1 м массой М = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой v₁ = 10 мин^-1, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека — точечной массой, определить работу, совершаемую человеком при переходе от края платформы к ее центру.

7. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя ее, вернется в исходную точку? Масса платформы М = 280 кг, масса человека m = 80 кг. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

8. Горизонтальная платформа массой m = 80 кг и радиусом R = 1 м вращается с угловой скоростью, соответствующей частоте n₁ = 20 об/мин. В центре платформы стоит человек и держит на вытянутых в разные стороны руках гири. Какое число оборотов в минуту будет делать платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от I₁ = 2,94 кгм² до I₂ = 0,98 кгм²? Считать платформу круглым однородным диском.

9. На скамье Жуковского сидит человек и держит на вытянутых руках гири массой m = 10 кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси вращения скамьи R = 75 см. Скамья вращается с частотой v = 1 об/мин. Как изменится скорость вращения скамьи и какую работу произведет человек, если он сожмет руки так, что расстояние от каждой гири до оси уменьшится до R₁ = 20 см? Момент инерции человека и скамьи (вместе) относительно оси вращения I = 2,5 кгм².

10. Человек массой m = 60 кг находится на неподвижной платформе массой М = 100 кг. Какое число оборотов в минуту будет делать платформа, если человек будет двигаться по окружности радиусом R = 5 м вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы υ = 4 км/ч. Радиус платформы R = 10 м. Считать платформу однородным диском, а человека  точечной массой.