Задачи для самостоятельного решения

1. В закрытом сосуде вместимостью 20 л находятся водород массой 6 г и гелий массой 12 г. Определить давление и молярную массу газовой смеси в сосуде, если температура смеси Т = 300 К.

2. Определить молярную массу и плотность смеси газов водорода массой m₁ = 8 г и кислорода массой m₂ = 64 г при температуре Т = 290 К и при давлении 0,1 МПа. Газы считать идеальными.

3. Баллон вместимостью V = 20 л содержит смесь водорода и азота при температуре 290 К и давлении 1 МПа. Определить массы водорода и азота, если масса смеси равна 150 г.

4. Два сосуда одинакового объема содержат кислород. В одном сосуде давление р₁ = 3 МПа и температура Т₁ = 700 К, в другом р₂ = 1,5 МПа, Т₂ = 200 К. Сосуды соединили трубкой и охладили находящийся в них кислород до температуры Т = 180 К. Определить установившееся в сосудах давление р.

5. Баллон содержит 80 г кислорода и 320 г аргона. При температуре Т = 300 К давление смеси равняется 1 МПа. Считая газы идеальными, определить объем баллона и молярную массу смеси газов.

6. В баллоне емкостью V = 15 л находится смесь, содержащая 10 г водорода, 54 г водяного пара и 60 г окиси углерода. Определить молярную массу и давление смеси при температуре t = 27С.

7. Какое количество кислорода выпустили из баллона объемом V = 10 л, если при этом показания манометра на баллоне изменились от Р₁ = 1610⁵ Па до Р₂ = 710⁵ Па, а температура понизилась от t₁ = 27С до t₂ = 7С?

8. Азот массой m = 5 г, находящийся в закрытом сосуде объемом V = 4 л при температуре t₁ = 20С, нагревается до температуры t₂ = 40С. Найти давление газа до и после нагревания.

9. В баллоне объемом V = 22,4 л находится водород при нормальных условиях. После того, как в баллон ввели некоторое количество гелия, давление в баллоне возросло до р = 0,25 МПа. Определить массу гелия, введенного в баллон, если температура газа при этом не изменилась.

10. В двух сосудах одинакового объема содержится кислород. В одном сосуде газ находится при давлении p₁ = 2 МПа и температуре Т₁ = 800 К, а в другом при давлении p₂ = 2,5 МПа и температуре Т₂ = 200 К. Сосуды соединили между собой трубкой и охладили находящийся в них кислород до температуры Т = 200 К. Определить установившееся в сосудах давление.

6. Первое начало термодинамики. Адиабатический процесс Основные формулы

Первое начало термодинамики

Работа расширения газа при процессе:

Изобарном ,

Изотермическом ,

Адиабатном

, где .

Уравнение Пуассона (уравнение адиабатного процесса)

, , .

Решение типовых задач

Задача 19. При адиабатическом сжатии давление воздуха было увеличено от Р₁ = 100 кПа до Р₂ = 1 МПа. Затем при неизменном объеме температура воздуха была понижена до первоначальной. Определить давление Р₃ газа в конце процесса.

Дано: Р1 =100 кПа=1·105 Па Р2 = 1 МПа =1·106 Па V2 = const = 1,4 Р3 – ?

Решение: На PV диаграмме представлен график, соответствующий процессу, указанному в условии задачи.

Процесс адиабатического сжатия 1-2 совершается без теплообмена и согласно уравнению Пуассона:

(1)

Макроскопические параметры P, V, T воздуха в состоянии 1, 2, 3 связаны соотношением:

,

откуда P₁V₁ = P₃V₃.

По условию задачи V₂ = V₃. Используя уравнение (1) можно записать

.

Тогда

Ответ:

Задача 20. Определить скорость вылета поршня массой 4 кг из цилиндра при адиабатном расширении кислорода в 40 раз, если начальное давление воздуха 10⁷ Па, а объем 0,3 л.

Дано: Т = 4 кг V2/V1 = 40 p1 = 10 7Па V1 = 0,3 л = 3·10-4 м3	Решение: Работа А, совершаемая адиабатически расширяющимся воздухом, в данном случае идет на увеличение кинетической энергии поршня, т. е
υ - ?

,

где т и υ – масса и скорость поршня.

Для подсчета работы адиабатически расширяющегося газа воспользуемся формулой: , где γ – отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме (для кислорода γ =1,4).

Так как , то ,

Ответ: 54 м/с.

Задача 21. Определить удельные теплоемкости с_р, с_v, для смеси 1 кг азота и 1 кг гелия.

Дано: m1= 1 кг М1= 28 кг/кмоль i1 = 5 m2 = 1 кг М2= 4 кг/кмоль газа. i2 = 3	Решение: Удельной теплоемкостью какого – либо газа называется величина, равная количеству теплоты, которое нужно сообщить единице массы тела, чтобы повысить его температуру на 1 градус. При этом величина теплоемкости зависит от условий, при которых происходит нагревание.
ср - ? сv - ?

Если нагревание происходит при постоянном объеме, то: , где , т.е. все сообщаемое количество теплоты идет на изменение внутренней энергии системы. Изменение внутренней энергии смеси газа определяется формулой: , где i₁ и i₂ – число степеней свободы первого и второго газов.

Окончательно получим: . (1)

Если нагревание происходит при постоянном давлении, то

, (2)

где , т.е. сообщаемое газу количество теплоты идет не только на изменение внутренней энергии, но и на работу по расширению газа. Работа при изобарическом расширении для каждого газа равна: ; , поэтому:

.

Подставляя это значение в уравнение (2), получим:

.

Произведем вычисления:

Ответ: .

Задача 22. В цилиндре под поршнем находится водород, который имеет массу 0,02 кг и начальную температуру 27°С. Водород сначала расширился адиабатически, увеличив свой объем в 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в 5 раз. Найти температуру в конце адиабатического расширения и работу, совершаемую газом. Изобразить процесс графически.

Дано: m = 0,02 кг Т1 = 27°С = 300 К М = 2 кг/кмоль i = 5	Решение: При адиабатном процессе температура и объем газа связаны соотношением: , где – отношение теплоемкостей газа при
T2 - ? А - ?

постоянном давлении и постоянном объеме. Для водорода γ = 1,4.

Отсюда выражение для конечной температуры Т₂ будет:

.

Работа А₁ газа при адиабатическом расширении равна изменению внутренней энергии:

.

Работа А₂ газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде:

Подставляя известные числовые значения величин, входящих в правую часть равенства, и выполняя арифметические действия, находим: .

З нак «минус» показывает, что при сжатии газа работа совершается над газом внешними силами. Полная работа, совершенная газом при описанных процессах, равна:

.

График процесса приведен на рисунке 1.

Ответ: 8,7 · 10³ Дж.

Задача 23. Кислород массой m = 2 кг занимает объем V₁ = 1 м³ и находится под давлением р₁ = 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V₂ = 3 м³, а затем при постоянном объеме до давления р₃ = 0,5 МПа. Найти изменение ΔU внутренней энергии газа, совершенную им работу А и количество теплоты Q, переданное газу. Построить график процесса.

Дано: m = 2 кг М = 32 кг/моль V1 = 1 м3 р1 = р2 = 2·105 Мпа V2 = 3 м3 р3 = 5·105 Мпа R = 8,31·10 –3 Дж/(кмоль·К)	Решение: Изменение внутренней энергии газа выражается формулой: , (1) где i – число степеней свободы молекул газа для двухатомных молекул кислорода (i = 5); М – молярная масса; R – молярная газовая постоянная.
ΔU - ? А - ? Q - ?

Начальную и конечную температуры найдем, используя уравнение Менделеева - Клайперона:

. (2)

Решая его относительно Т, получим: (3)

Подставляя в выражение (1) числовые значения входящих в него

величин, находим:

Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой: . Подставив числовые значения, получим:

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю, т.е. А₂ = 0. Следовательно, полная работа, совершенная газом, равна: . Согласно первому началу термодинамики количество теплоты Q, переданное газу, равно сумме изменения внутренней энергии ΔU и работы А: , следовательно: .

График процесса приведен на рисунке 2.

Ответ: 3,65 МДж.