2.2.3. Метод последовательных сокращений

Определение. Двухэлементное множество совместимости называется совместимой парой.

Определение (индуктивное). Цепь , порождаемая парой – это множество пар состояний, построенной следующим образом:

База индукции: пара .

Индуктивный переход: если пара , и , и если при этом , то пара .

Заключительная фраза: других пар в нет.

Пример. Рассмотрим частичный автомат из предыдущих примеров , заданный таблицами переходов и выходов

				y
X\Q	1	2	3	4	5	6	7	8
	–	5	2	6	1	1	–	7
	–	–	–	2	6	–	4	–
	–	–	7	–	–	8	3	1
	4	–	4	–	–	–	4	4

				j
X\Q	1	2	3	4	5	6	7	8
	–	0	1	1	0	1	–	1
	–	–	–	1	1	–	0	–
	–	–	0	–	–	0	1	1
	1	–	1	–	–	–	0	0

Рассмотрим пару состояний (7,8) и построим цепь . Из таблицы переходов видно, что условие выполняется при и . При этом условие верно только при : , , то есть пара . Рассмотрим пару (1,3). Условие выполняется только при , при этом , то есть мы получили пару одинаковых состояний. Следовательно, .

Замечание. Цепь можно получить из графа условий совместимости – в нее включаются все пары, достижимые из .

Определение. Состояния называются 1–совместимыми, если и только если

Пример. В предыдущем примере состояния (3,4) являются 1–совместимыми, так как условие выполнено только для , и при этом , а состояния (2,3) не являются, так как , а .

Определение. Цепь называется правильной, если все пары в ней 1-совместимы.

Пример. Цепь является правильной, а цепь – не является, так как состояния 2 и 6 несовместимы.

По цепи можно построить покрытие. Его блоками являются все пары, вошедшие в цепь, и состояния, не вошедшие ни в одну из пар, поодиночке.

Пример. Покрытие, построенное по цепи

Лемма. Покрытие, построенное по цепи, является сохраняемым правильным покрытием.

Доказательство. Сохраняемость следует из построения цепи – если пара состояний переходит в другую пару, то эта другая пара добавляется в цепь, а значит, является блоком покрытия. Правильность следует из того, что все пары состояний в правильной цепи 1-совместимы. ■

Из леммы следует приближенный алгоритм построения кратчайшего сохраняемого правильного покрытия. Алгоритм не гарантирует, что покрытие будет кратчайшим, но является несложным в вычислительном плане, поскольку не требует проверки покрытий на сохраняемость, а значит, и перебора покрытий.