Алгоритм Хопкрофта
Начало. Задан автомат
и некоторое начальное разбиение
.
Требуется найти разбиение множества
на классы неотличимости.
Шаг 1. Для каждого входного символа
строим список
,
куда включаем все блоки разбиения
,
для которых
.
Удаляем из списка блок, для которого
множество
имеет максимальную мощность. Полагаем
.
Шаг 2. Если все списки
пусты, идем на конец. Иначе выбираем
пару
,
где
– любой входной символ,
– множество минимальной мощности для
всех блоков из
.
Удаляем
из
.
Шаг 3. Выбираем очередной блок
и проводим его разбиение по паре
.
Блок
делится на два блока:
и
по следующему правилу: в
помещаем состояния из
,
которые по символу
переходят в блок
,
в
– остальные состояния из
:
Шаг 4. Если
не разделился, добавляем его в разбиение
.
Иначе добавляем в разбиение
блоки
и
и модифицируем все списки
:
если блок
,
то удаляем его из
и добавляем в
блоки
и
;если блок
,
то добавляем в
блок
или
,
а именно тот, для которого обратная
функция переходов имеет меньшую
мощность, но не является пустым
множеством.
Если не все блоки просмотрены, идем на шаг 3.
Шаг 5. Если
,
полагаем
.
Идем на шаг 2.
Конец. Искомое разбиение
.
Пример. Рассмотрим автомат из предыдущих примеров.
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
X\Q |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
7 |
7 |
8 |
8 |
7 |
5 |
1 |
3 |
|
6 |
2 |
6 |
2 |
4 |
1 |
8 |
8 |
|
1 |
1 |
3 |
3 |
3 |
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
X\Q |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Для него уже получена обратная функция переходов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X\Q |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
7 |
|
8 |
|
6 |
|
1,2,5 |
3,4 |
|
6 |
2,4 |
|
5 |
|
1,3 |
|
7,8 |
|
1,2,6,8 |
|
3,4,5,7 |
|
|
|
|
|
Шаг 1. Разбиение построим, как в алгоритме Мура
.
Обратная функция переходов для этих блоков
|
|
|
X\ |
|
|
|
6,7,8 |
1,2,3,4,5 |
|
1,2,3,4,5,6 |
7,8 |
|
1,2,3,4,5,6,7,8 |
|
Списки имеют вид:
Шаг 2. Выбираем пару
,
где
,
удаляем
из
.
Списки принимают вид
Шаг 3. Выбираем блок
и разбиваем его по паре
:
Шаг 4. Добавляем в разбиение
блоки
и
и модифицируем все списки. Находим
обратную функцию переходов для блоков
и
|
|
|
X\ |
|
|
|
6,7,8 |
|
|
2,4,5,6 |
1,3 |
|
1,2,3,4,5,6,7,8 |
|
Поскольку
не содержится ни в одном списке, то
добавляем в список
блок
,
т.к.
,
и не меняем остальные списки, поскольку
.
Имеем
Не все блоки просмотрены, идем на шаг 3.
Шаг 3. Выбираем блок
и разбиваем его по паре
:
Шаг 4. Блок не разбился, добавляем в
разбиение
блок
.
Все блоки разбиения
просмотрены.
Шаг 5. Разбиение
,
далее рассматриваем это разбиение
.
Перепишем в новых обозначениях списки
Получим обратную функцию переходов
|
|
|
|
X\ |
|
|
|
|
6,7,8 |
|
1,2,3,4,5 |
|
2,4,5,6 |
1,3 |
7,8 |
|
1,2,3,4,5,6,7,8 |
|
|
Идем на шаг 2.
Шаг 2. Выбираем пару
,
где
,
удаляем
из
.
Списки принимают вид
Шаг 3. Выбираем блок
и разбиваем его по паре
:
Шаг 4. Добавляем в разбиение
блоки
и
и модифицируем все списки. Находим
обратную функцию переходов для блоков
и
|
|
|
X\ |
|
|
|
7,8 |
6 |
|
6 |
2,4,5 |
|
1,2,3,4,5,6,7,8 |
|
Новые списки принимают вид
Не все блоки просмотрены, идем на шаг 3.
Шаг 3. Блок
состоит из одного символа, поэтому
дальше не разбивается. Выбираем блок
,
разбиваем его по паре
:
Шаг 4. Добавляем в разбиение блоки и . Все блоки просмотрены.
Шаг 5. Разбиение
,
далее рассматриваем это разбиение
.
Перепишем в новых обозначениях списки
Получим обратную функцию переходов
|
|
|
|
|
X\ |
|
|
|
|
|
7,8 |
6 |
|
1,2,3,4,5 |
|
6 |
2,4,5 |
1,3 |
7,8 |
|
1,2,3,4,5,6,7,8 |
|
|
|
Нетрудно убедиться, что никакие пары больше не порождают новых разбиений. Предоставляем это читателю.
Полученное разбиение совпадает с разбиением на классы неотличимости из предыдущих подразделов.