Математика как феномен культуры (7/3)

1. Математика как феномен культуры

Математика является феноменом К., потому что оно создает особый мир знания и через это знание влияет на наши представления; играет центральную роль в построении духовного мира. М. – это символ конструирования Ч. (Вейль). Он отмечает сходство М. с языком, мифом, музыкой. В ней проявляется воля, человечность и стремление к мировой гармонии. Связь М., К. и ЕЗ. состоит в свободном конструировании символов.

М. как философию К. осмысливает Шпенглер, говоря о том, что не существует универсальный стиль математического мышления, нет универсальной М., потому что нет единой общечеловеческой культуры. В разные времена у разных народов были разные математики; они зависели от их культурного уклада. Например: античная М. была связана с К. античного полиса с организацией общественной жизни, с религией, мифом и искусством; новоевропейская М. связана с теологией, ЕЗ и Ф.

В рамках культуры М. делится на М. профессионалов, М. логиков и специалистов по философским основаниям М. Можно делить М. также по взаимодействию со смежной областью знания, тогда мы получим М. инженеров, физиков, поэтов, философов. М. профессионалов занимает особе место; напрямую она не взаимодействует с другими областями культуры. Каждая М. выражает свой стиль мышления.

2. Эстафетная модель развития математики в науке

Эстафетная модель (ЭМ) предложена Розовым: М. – это эстафета; в ней передается способ деятельности от Ч. к Ч., от сообщества к сообществу.

Деятельность воспроизводится по образцу; ей руководит общий центр. В нем находятся лидеры наук: сама М. и физика. Из общего центра распространяется волна, которая несет образцы решения задач. Законы распространения этой волны изучены мало, потому что явление математизации очень сложное. Например: есть прямое воздействие математики на ЕН; математическая модель сразу внедряется либо в физику, либо в техническую теорию.

Есть другой путь математизации наук – использование математических методов для обработки результатов измерений. Так происходит в экспериментальных науках; это пример опосредованного влияния М. на Н. Опосредованное влияние означает, что М. не затрагивает основ теоретической дисциплины. Посредником в ЕН может выступать физика; через нее математический аппарат внедряется, например, в географию, биологию, физику.

М. все время генерирует новые модели в виде уравнений; они служат для описания объектов, природа которых М. безразлична – М. отвлекается от качества вещей и доходит до количества.

Как интерпретируются модели? Интерпретация может быть самой разной. Например: Кеплер интерпретирует интегралы, выражающие объемы тел вращения как объемы вращающихся винных бочек, и труд его называется «Стереометрия винных бочек».

3. Социально-культурные запреты на развитие м.

На историю развития М. оказали влияние 3 запрета. Эти запреты имели метафизическую основу, которая была укоренена в культуре своего времени; запреты поставили математические границы Вселенной.

1. Запрет на случайное: о случайном не может быть знание через доказательство, поскольку оно несет необходимое, а не случайное. (Аристотель)

В античности противопоставлялось теоретическое знание и вероятностное. Теоретическое знание – это знание необходимое, а случайное присуще спору или обыденному знанию.

В Средние Века этот запрет сохраняется, несмотря на распространение азартных игр. В рукописях встречаются подсчеты исходов при бросании, но случайность не осмысливается. Запрет поддерживает теология, которая переработала учение Аристотеля о форме и материи и не допускает случайные знания.

В Новое Время появляются социо-культурные предпосылки для снятия запрета. В 1660 г появляется Британское Королевское Общество, оно берет на вооружение программу науки Ф.Бэкона. Главная идея этой программы: идеал ЕЗ – это хорошо обоснованная гипотеза. Чем больше эмпирических фактов ее подтверждает, тем лучше. Все больше повышается степень ее достоверности, но абсолютной достоверности достичь невозможно. Из этой ситуации было 2 выхода:

• Все время подыскивать новые факты

• Переосмыслить само понятие достоверности

Королевское Общество выбрало второй путь; на него повлияли философские взгляды Декарта. Декарт нападает на физику и говорит о том, что достоверного факта, который обладает необходимостью, физикам дать не может, потому что оно выражает правила поведения людей, которые подчиняются нормам морали. Декарт отбрасывает случайность из науки, потому что всеобщность и всенеобходимость дает не опыт, а разум. Это он конструирует математические понятия. Декарт построил в физике вероятностную гносеологию.

2. На движение в М. (Аристотель)

Аристотель: «Математические науки чужды движению, выражают различия между М. и физикой, направлены они против М. Платона. Математические объекты изменяться не могут, потому что они тождественны самим себе, а вот физические объекты изменяются». Этот запрет был снят только в позднее Средневековье, поэтому никакого представления о математических переменных величинах в античности не могло возникнуть.

Средневековье: в Оксфордском и Парижском Университетах происходит сближение физики и М. Гроситест и Роджер Бэкон пересмотрят физику Аристотеля, лишат ее метафизики и подведут под нее математическую базу. Они введут понятия о непрерывных величинах. Позже математики будут рассматривать такие изменения непрерывных свойств, как теплота, цвет, звук, доброта, греховность. Суть в том, что математика больше не будет описывать неизменные формы, и математические переменные прочно войдут в ЕЗ.

3. На актуальную бесконечность (Евдокс)

Дольше всех держался в науке. Окончательно снялся только в 60-е гг XX в. Активно поддерживался самими математиками. Запрет вводила аксиома Евдокса, суть: величины имеют отношения между собой, если они взятые кратно, могут превзойти друг друга.

Это был запрет на бесконечно большие и бесконечно малые величины в М. Она была перестраховкой от апорий Зинона, который показал парадоксы бесконечного. Даже Галилей, создатель дифференциального исчисления с одной стороны признавал существование бесконечно малых величин, а с другой считал их фикцией: оперирование бесконечностями считалось признаком дурного тона в М. Она должна быть исключена из нее, т.к. бесконечность – это граница перехода количества в качество.

Снял Запрет Робинсон. Он создал нестандартный анализ. Он ввел понятия о гипердействительных числах. Они включали в себя стандартные числа и бесконечно малые величины.

Причина устойчивости этого запрета в том, что М. пошла по пути арифметизации и намеренно заковала себя в строгие формы, отказалась от геометрической наглядности.