3. Геометрические характеристики поперечных сечений бруса

1. Статические моменты сечения

При решении практических задач возникает необходимость в использовании различных геометрических характеристик попереч­ных сечений бруса. Настоящий раздел посвящен методам их опре­деления. Рассмотрим некоторое поперечное сечение в системе ко­ординат x, y (рис. 3.1) и рассмотрим два следующих интегральных выражения:

(3.1)

где нижний индекс у знака интеграла указывает на то, что интегри­рование ведется по всей площади сечения F. Каждый из этих инте­гралов представляет собой сумму произведений элементарных пло­щадок dF на расстояние до соответствующей оси (x или y). Первый интеграл называется статическим моментом сечения относительно оси x, а второй  относительно оси y.

При выполнении практических расчетов важно знать, как меняются статические моменты сечения при параллельном переносе координатных осей (рис 3.2).

Очевидно, что

x = x₁ + a; y = y₁ + b. (3.2)

Подставляя (3.2) в (3.1) получим:

Сопоставление предела прочности хрупких материалов при растяжении с пределом прочности при сжатии показывают, что эти материалы обладают, как правило, более высокими прочностными показателями при сжатии, нежели при растяжении. Величина отношения для чугуна составляет 0.2 0.4, для керамических материалов 0.10.2. Для пластичных материалов установлено, что .

Большое влияние на проявление свойств материалов оказывает скорость нагружения и температурное воздействие. При высокоскоростном нагружении более резко проявляются свойства хрупкости, а при медленном нагружении - свойства пластичности. Например, хрупкое стекло способно при длительном воздействии нагрузки в условиях нормальной температуры (+20^оС) проявляет пластические свойства. Пластичные же материалы, такие, как малоуглеродистая сталь, при воздействии ударных нагрузок проявляет хрупкие свойства. В зависимости от указанных обстоятельств механические свойства материалов проявляются по-разному. Обобщенный анализ свойств материалов с учетом температуры и времени оказывается очень сложным. Функциональная зависимость между четырьмя параметрами , , температурой t^o и временем t, т.е. не является адекватной и содержит в сложной форме дифференциальные и интегральные соотношения, входящих в нее величин.

Так как в обобщенной форме, точное аналитическое выражение функции f получить невозможно, то влияние температуры и фактора времени рассматривается в настоящее время применительно только к частным классам задач. Деление на классы производится как по характеру действия внешних сил так и по типу материалов, а также в зависимости от скорости нагружения.

Наиболее, изучаемыми в механике материалов, являются процессы происходящие при действии медленно изменяющихся (статических) нагрузок.

Скорость изменения этих нагрузок во времени настолько мала, что кинетическая энергия деформируемого тела, составляет незначительную долю от работы внешних сил. Поэтому работа внешних сил превращается только в упругую энергию и в необратимую тепловую энергию, связанную с пластическими деформациями тела.

При статических испытаниях материалов в различных температурных режимах определяется зависимость механических характеристик материалов от температуры. Эта зависимость характеризует изменения внутрикристаллических и межкристаллических связей, а в некоторых случаях и структурными изменениями материалов. В общем случае с ростом температуры, прочностные характеристики материалов существенно падают. При этом, чем выше температура, тем труднее определить механические характеристики материалов. Происходит это не только потому, что возрастают сложности в технике эксперимента, но также вследствие того, что сама характеристика становится менее определенной.

При статическом нагружении, начиная с некоторых значений температур, фактор времени становится очень существенным. Для разных материалов это явление происходит при совершенно различных температурных режимах. Влияние фактора времени обнаруживается и при нормальных температурах. Для металлов его влияние, из-за незначительности, можно пренебречь. А для органических материалов даже при низких температурах время нагружения имеет существенное значения.

В заключение отметим наиболее важные свойства материалов которые обнаруживаются при их испытаниях. Эти свойства имеют фундаментальное значение при построении физических уравнений механики твердого деформируемого тела.

Упругость - это способность твердого деформируемого тела восстанавливать свою форму и объем после прекращения действия внешних нагрузок.

Пластичность - это свойство твердого деформируемого тела до разрушения необратимо изменять свою форму и объем от действия внешних сил.

Вязкость - это свойство оказывать сопротивление за счет трения происходящего при перемещении элементарных частиц тела относительно друг друга в процессе деформирования. Отметим, что при этом, как показывают результаты экспериментов, сила сопротивления, возникающая за счет внутреннего трения материалов, прямым образом зависит от величины скорости перемещения элементарных частиц относительно друг друга.

Упругость, пластичность и вязкость являются главными физическими свойствами твердого деформируемого тела.

Ползучесть - это явление характеризующееся изменения во времени величин деформаций и напряжений в теле при действии статических нагрузок.

Выносливость - при действии периодически изменяющихся по времени нагрузок, это явление, которое характеризуется чувствительностью и изменениями прочностных свойств материалов в зависимости от числа циклов нагружения.

Рис. 3.1 Рис. 3.2

(3.3)

Величины а и b можно подобрать (причем единственным обра­зом) так, чтобы выполнялись следующие равенства:

bF = S_x ;     aF = S_y , (3.4)

тогда статические моменты .

Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Точка С (x_C , y_C) пересечения централь­ных осей называется центром тяжести сечения в системе координат (x, y) и определяется из (3.4):

. (3.5)

Далее предположим, что брус имеет составное сечение (рис. 3.3) с общей пло­щадью F. Обозначим через F_k (k = 1, 2, 3,..., n) площадь kой области, принадлежащей к составному сечению бруса. Тогда выраже­ние (3.1) можно преобразовать в следующем виде:

, (3.6)

где  статические моменты kтой области относительно осей x и y. Следовательно, статический момент составного сечения равен сумме статических моментов составляющих областей.