1 вопрос: Абсолютная и относительная погрешность

Определение: Абсолютной погрешностью приближенного значения называется модуль разности точного и приближенного значений.

Определение: Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.

абсолютная погрешность -

относительная погрешность -

3 вопрос: Этапы приближенного решения нелинейных уравнений.

            Приближенное решение уравнения состоит из двух этапов:

1. Отделение корней, то есть нахождение интервалов из области определения функции f (x), в каждом из которых содержится только один корень уравнения (1).

2. Уточнение корней до заданной точности.

            Отделение корней можно проводить графически и аналитически. Для того чтобы графически отделить корни уравнения (1), необходимо построить график функции . Абсциссы точек его пересечения с осью Ox являются действительными корнями уравнения (рис. 1).

 Рис. 1. Графическое отделение корней (1-ый способ).             На практике же бывает удобнее заменить уравнение (1) равносильным ему уравнением ,                                                             (2) где  и  - более простые функции, чем . Абсциссы точек пересечения графиков функций  и  дают корни уравнения (2), а значит и исходного уравнения (1) (рис.2). Рис 2. Графическое отделение корней (2-ой способ).

Пример 1. Отделить графически корень уравнения . Решение. Для решения задачи построим график функции  (рис. 3). Рис. 3. График функции .

Из рисунка видно, что один из корней уравнения принадлежит отрезку , второй – отрезку . Так как рассматриваемое уравнение имеет третью степень, то должен существовать еще один корень на интервале . Пример 2. Отделить графически корень уравнения . Решение. Преобразуем уравнение к виду  и построим графики функций  и  (рис. 4). Рис. 4. Графическое отделение корней.

Из рисунка видно, что абсцисса точки пересечения этих графиков принадлежит отрезку .

Аналитическое отделение корней основано на следующих теоремах. Теорема 1. Если непрерывная функция  принимает на концах отрезка  значения разных знаков, т.е. , то на этом отрезке содержится по крайней мере один корень уравнения (1) (рис. 5). Рис. 5. Существование корня на отрезке.

Теорема 2. Если непрерывная на отрезке  функция  принимает на концах отрезка  значения разных знаков, а производная  сохраняет знак внутри отрезка , то внутри отрезка существует единственный корень уравнения f (x) = 0 (рис. 6). Рис. 6. Существование единственного корня на отрезке.

Пример 3. Подтвердить аналитически правильность нахождения отрезка изоляции корня уравнения . Решение. Для отрезка  имеем: ;  Значит, . Следовательно, корень отделён правильно.

            Уточнение корней до заданной точности заключается в сужении интервала изоляции корня и выполняется одним из специальных методов. Наиболее распространенными являются метод деления отрезка пополам, метод касательных (Ньютона), метод секущих (хорд).

4 вопрос: Численные методы решения уравнений (деление отрезка пополам; метод хорд; метод простых итераций; метод касательных)

-Метод деления отрезка пополам (дихотомии)

Идея метода:

Найдем середину отрезка [a, b]: c=(a+b)/2. Корень остался на одной из частей: [a, c] или [c, b]. Если f(a) * f(с)<0, то корень попал на отрезок [a, c], тогда деление отрезка можно повторить, приняв в качестве нового правого конца точку c, т.е. b=c. В противном случае корень попал на половину [c, b], и необходимо изменить значение левого конца отрезка: a=c. Поскольку корень всегда заключен внутри отрезка, итерационный процесс можно останавливать, если длина отрезка станет меньше заданной точности: |b – a|< ε Найдем первый корень уравнения f(x)=x³ - 6x²+3x+11=0 с точностью

Вычисления оформляются в виде таблицы

k	a	b	c	f(a)	f(c)	|b-a|
0	-2	-1	-1.5	-27	-10.375	1
1	-1.5	-1	-1.25	-10.375	-4.07813	0.5
2	-1.25	-1	-1.125	-4.07813	-1.39258	0.25
3	-1.125	-1	-1.0625	-1.39258	-0.1604	0.125
4	-1.0625	-1	-1.03125	-0.1604	0.42868	0.0625
5	-1.0625	-1.03125	-1.04688	-0.1604	0.136372	0.03125
6	..........
7
8
9
10	-1.05469	-1.05371	-1.0542	-0.01146	-0.00218	0.000977

где a₀ , b₀ - начальные границы интервала изоляции корня;

В результате расчета приближенное значение первого корня: при точности и х=-1.0542 при точности .

Графическая иллюстрация метода:

(http://pers.narod.ru/study/methods/01.html)

-Метод простой итерации

С помощью эквивалентных преобразований приведем исходное уравнение f(x) к виду, удобному для применения метода простой итерации: x=φ(x). Выберем начальное приближение x₀∈[a, b]. Следующие итерации находим по формуле: x_k+1=φ(x_k), т.е. x₁=φ(x₀), x₂=φ(x₁) и т.д.. Итерационный процесс заканчивается, если |x_k+1–x_k|<ε. Представить исходное уравнение в эквивалентном виде x=φ(x) можно бесконечным числом способов. Из всевозможных таких представлений выбирают тот, который дает сходящуюся к корню последовательность вычислений. Очевидно, что .

Достаточное условие сходимости: пусть φ(x) имеет производную на отрезке [a,b], и для всех x из отрезка [a,b], тогда итерационный процесс сходится к корню уравнения т.е. .

Доказательство следует из следующих оценок:

Первое неравенство следует из теоремы Лагранжа о среднем и того, что .

Остальные по инерции.

Так как .

Геометрический смысл метода простой итерации.

Сходящийся метод простой итерации

 

Расходящийся метод простой итерации

В качестве начального приближения обычно берут середину отрезка [a,b]: .

На практике часто в качестве берут функцию , где с – некоторая постоянная. Постоянную c выбирают таким образом, чтобы для всех x∈[a, b].

При таком выборе функции метод простой итерации называют методом релаксации.

Получим условия на выбор с:

Таким образом, если f^/(x)<0, то 2/f^/(x)<c<0. Если же f^/(x)>0, то 2/f^/(x)>c>0.

Видно, что знак у с совпадает со знаком f^/(x). Часто с берут в виде: .

Убедимся, что такое c удовлетворяет условию сходимости:

Пусть f^/(x)>0. Тогда M>0 и m>0 -> c>0 и . Следовательно, 2/f^/(x)>c>0.

Пусть f^/(x)<0. Тогда M<0 и m<0-> c<0 и

Следовательно, 2/f^/(x)<c<0.

Найдем, второй корень нашего исходного уравнения x³‑ 6x²+3x+11=0, который лежит на интервале [1, 3] с точностью .

Сначала найдем функцию . В нашем случае f(x)= x³‑ 6x²+3x+11.

Для нахождения c необходимо найти максимальное и минимальное значения f^/(x) на отрезке [1, 3]. Для этого необходимо найти значения f^/(x) на концах интервала и в точках, где f^//(x)=0, т.е. в точках экстремума, если такие точки для рассматриваемого интервала существуют. И выбрать среди этих значений f^/(x) максимальное и минимальное значения.

f^/(1)=3x²-12x+3=-6, f^/(3)=-6, f^//(x)=6x-12=0 при x=2 , f^/(2)=-8.

Следовательно,

Таким образом, .

Вычисления оформим в виде таблицы:

k	x	|xk+1-xk|	|f(xk)|
0	2	-	1
1	2.142857	0.142857	0.282799
2	2.102457	0.0404	0.07896
3	2.113737	0.01128	0.022164
4	2.110571	0.003166	0.006213
5	2.111459	0.000888	0.001742
6	2.11121	0.000249	0.000489

Здесь x₀=(1+3)/2=2, , и т.д.

Условием окончания итерационного процесса является условие: |x_k+1–x_k|<ε или |f(x_k)|<ε.