30. Понятие прямого, чистого и косого изгиба. Правила знаков для внутренних силовых факторов при изгибе. Статические дифференциальные и интегральные соотношения при изгибе

Изгибом называется вид нагружения бруса, при котором к нему прикладывается момент, лежащий в плоскости проходящей через продольную ось. В поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. Изгиб называется плоским, если плоскость действия момента проходит через главную центральную ось инерции сечения. Если изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, то такой изгиб называется чистым. При наличии поперечной силы изгиб называется поперечным. Под косым изгибом понимается такой случай изгиба, при котором плоскость изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных осей поперечного сечения (рис. 5.27, а). Косой изгиб удобнее всего рассмотреть как одновременный изгиб бруса относительно главных осей x и y поперечного сечения бруса. Для этого общий вектор изгибающего момента М, действующего в поперечном сечении бруса, раскладывается на составляющие момента относительно этих осей (рис. 5.27, б):Mx = M×sina; My = M×cosa Брус, работающий при изгибе, называется балкой.Правило знаков для : условимся считать поперечную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, стремится повернуть данное сечение по часовой стрелке и отрицательной - в противном случае.

Схематически это правило знаков можно представить в виде: Изгибающий момент в сечении численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно оси x , проходящей через данное сечение. Правило знаков для : условимся считать изгибающий момент в сечении положительным, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, приводит к растяжению в данном сечении нижних волокон балки и отрицательной - в противном случае.

Схематически это правило знаков можно представить в виде:

Следует отметить, что при использовании правила знаков для в указанном виде, эпюра всегда оказывается построенной со стороны сжатых волокон балки. Дифференциальные зависимости при изгибе:

33. Расчет на прочность при изгибе. Балки рассчитывают на прочность по наибольшим нормальным напряжениям, возникающим в их поперечных сечениях. При поперечном изгибе балок наряду с нормальными возникают и касательные напряжения, обусловленные наличием поперечной силы, но они в подавляющем большинстве случаев невелики и при расчетах на прочность не учитываются. Прочность балки обеспечена, если наибольшие по абсолютному значению нормальные напряжения, возникающие в опасном сечении, не превышают допустимых. Для балки, поперечные размеры которой по всей длине постоянны, опасное сечение то, в котором возникает наибольший по модулю изгибающий момент. Наибольшие нормальные напряжения возникают в точках опасного поперечного сечения, максимально удаленных от нейтральной оси. Эти точки принято называть опасными. Значения максимальных напряжений в опасных точках найдем по формуле : ,где и - расстояния от нейтральной оси до наиболее удаленных точек соответственно в растянутой и сжатой зонах сечения.

Если материал балки хрупкий, например закаленная сталь, чугун, текстолит и др., то расчет на прочность при изгибе проводят по напряжениям растяжения и сжатия. У хрупких материалов предел прочности при сжатии выше предела прочности при растяжении . Следовательно, поперечным сечениям балок из хрупких материалов целесообразно придавать асимметричную форму относительно нейтральной оси (рис. 1) и располагать балку так, чтобы большая часть материала находилась в растянутой зоне.

Таким образом, при расчетах балок из хрупкого материала используются два условия прочности: для растянутой зоны ; для сжатой зоны .Причем наилучшее использование материала происходит при форме сечения, удовлетворяющей условию .

При расчете балок из пластичных материалов, например коуглеродистой стали или цветных металлов, допускаемые напряжения растяжения и сжатия одинаковы: . Поэтому для таких балок целесообразными являются сечения, симметричные относительно нейтральной оси (рис. 2), так как в этом случае наиболее удаленные точки в растянутой и сжатой зонах сечения располагаются на одинаковом расстоянии y = h/2 от нейтральной оси. И, следовательно, .Разделим числитель и знаменатель правой части этого равенства на h/2: .Величина , выражаемая в или , называется моментом сопротивления сечения при изгибе.
Для прямоугольного сечения (рис. 2), размеры которого , момент сопротивления .Для круглого сечения .Наиболее экономичными при изгибе являются такие формы сечения, при которых материал бруса расположен как можно дальше от нейтральной оси. У таких брусьев при наименьшей затрате материалов получается наибольший момент сопротивления . Поэтому и возникли профили стандартного проката (рис. 2), все необходимые геометрические характеристики которых содержатся в ГОСТ 8239-72 "Сталь горячекатаная. Балки двутавровые", ГОСТ 8240-72 "Швеллеры".Таким образом, наибольшие напряжения растяжения или сжатия в симметричном относительно нейтральной оси сечения находят по формуле и условие прочности балки из пластичного материала имеет вид , исходя из которого выполняют три вида расчетов.Проектный расчет. Приняв , по изгибающему моменту в опасном сечении находят требуемое значение момента сопротивления:. Затем, исходя из принятой для балки формы поперечного сечения, находят его размеры.Расчет допускаемой нагрузки выполняется при по формуле . Затем, исходя из схемы нагружения балки, находят допускаемое значение нагрузки.Проверочный расчет. Определив максимальный изгибающий момент и момент сопротивления сечения, находят по формуле значение и сравнивают его с .