25. Кручение. Крутящие и скручивающие моменты. Правило знаков. Статические дифференциальные и интегральные соотношения при кручении.

Круче́ние — один из видов деформации тела. Возникает в том случае, если нагрузка прикладывается к телу в виде пары сил (момента) в его поперечной плоскости. При этом в поперечных сечениях тела возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент. На кручение работают пружины растяжения-сжатия и валы.

Момент силы (синонимы: крутящий момент; вращательный момент; вертящий момент; вращающий момент) — векторная физическая величина, равная произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, т.к в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).

28. Моменты инерции. Главные оси инерции. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей координат. ПримерыМомент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности тела во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости). Единица измерения СИ: кг·м². Обозначение: I или J.

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется физическая величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси: где: mi — масса i-й точки, ri — расстояние от i-й точки до оси.

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины: где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции Jxy и Jxz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела.Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.Формулы для моментов инерции при параллельному переносе осей:Jx1= (y+a)2dA=Jx+2aSx+a2A; Jy1= (x+b)2dA=Jy+2bSy+b2A; Jx1y1= (y+a)(x+b)dA=Jxy+aSy+bSx+abA

29. Изменение моментов инерции при повороте осей координат. Положение главных осей инерции.

Изменение моментов инерции сечения при повороте осей координат.Найдем зависимость между моментами инерции относительно осей х, у и моментами инерции относительно осей х1, у1, повернутых на угол a . Пусть Jx > Jy и положительный угол a отсчитывается от оси х против часовой стрелки. Пусть координаты точки М до поворота – x, y , после поворота – x1, y1 (рис. 4.12).

Из рисунка следует: Теперь определим моменты инерции относительно осей х1 и у1:

или Аналогично:

Сложив почленно уравнения (4.21), (4.22), получим: т.е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей остается постоянной и не изменяется при повороте системы координат.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения называются главными осями. Если эти оси являются также и центральными, то они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.