Задание 6. Тема: «целочисленное и дискретное программирование».

ЦЕЛОЧИСЛЕННАЯ ЗАДАЧА.

Задача 6.1.

Дана математическая модель целочисленной задачи. Для принятия управленческого решения требуется найти оптимальный целочисленный план и максимальное значение целевой функции.

Решить задачу методом ветвей и границ. Данные необходимые для решения, приведены в табл. 6.1.

Таблица 6.1

Вариант	Математическая модель задачи
	Целевая функция	Ограничения	Условие неотрица-тельности
1			x1, x2 ≥ 0
2			x1, x2 ≥ 0
3			x1, x2 ≥ 0
4			x1, x2 ≥ 0
5			x1, x2 ≥ 0
6			x1, x2 ≥ 0
7			x1, x2 ≥ 0
8			x1, x2 ≥ 0
9			x1, x2 ≥ 0
0			x1, x2 ≥ 0

ЗАДАЧА ДИСКРЕТНОГО ПРГРАММИРОВАНИЯ.

ЗАДАЧА КОММИВОЯЖЕРА.

Задача 6.2.

Имеется необходимость посетить n городов в ходе деловой поездки. Спланировать поездку нужно так, чтобы, переезжая из города в город, побывать в каждом не более одного раза и вернуться в исходный город. Определить оптимальный маршрут посещения городов и его минимальное расстояние.

Задана матрица расстояний между городами c_ij. (см.условия задачи).

Сформулированная задача - задача целочисленная. Пусть х_ij = 1 , если путешественник переезжает из i -ого города в j-ый и х_ij = 0, если это не так.

Формально введем (n+1) город, расположенный там же, где и первый город, т.е. расстояния от (n+1) города до любого другого, отличного от первого, равны расстояниям от первого города. При этом, если из первого города можно лишь выйти, то в (n+1) город можно лишь придти.

Введем дополнительные целые переменные, равные номеру посещения этого города на пути. u₁ = 0, u_n+1 = n . Для того, чтобы избежать замкнутых путей, выйти из первого города и вернуться в (n+1) введем дополнительные ограничения, связывающие переменные x_ij и переменные u_i. ( u_i целые неотрицательные числа).

2. Математическая модель

Необходимые данные приведены ниже.

Условия задачи 6.2. Матрица расстояний c_ij

Вариант 1

	1	2	3	4
1		31	15	19
2	19		22	31
3	25	43		53
4	5	50	49

Вариант 2

	1	2	3	4
1		19	25	11
2	37		26	58
3	10	50		39
4	38	39	24

Вариант 3

	1	2	3	4
1		16	13	35
2	19		29	31
3	57	51		44
4	5	40	32

Вариант 4

	1	2	3	4
1		39	45	2
2	30		20	33
3	54	16		55
4	19	36	25

Вариант 5

	1	2	3	4
1		41	27	54
2	42		11	32
3	36	5		33
4	46	24	59

Вариант 6

	1	2	3	4
1		21	40	28
2	58		11	39
3	22	12		23
4	25	47	51

Вариант 7

	1	2	3	4
1		6	56	35
2	34		46	46
3	29	31		32
4	26	34	12

Вариант 8

	1	2	3	4
1		22	26	56
2	34		12	51
3	45	33		44
4	39	7	16

Вариант 9

	1	2	3	4
1		4	39	22
2	58		56	18
3	34	29		17
4	52	4	22

Вариант 0

	1	2	3	4
1		14	40	33
2	48		34	4
3	57	35		24
4	30	50	44

Методичские указания

Понятия о методе ветвей и границ.

Метод ветвей и границ заключается в упорядоченном переборе вариантов и рассмотрении лишь тех из них, которые оказываются по определенным признакам перспективными, и отбрасывании бесперспективных вариантов.

Метод ветвей и границ состоит в следующем: множество допустимых решений (планов) некоторым способом разбивается на подмножества, каждое из которых этим же способом снова разбивается на подмножества. Процесс продолжается до тех пор. Пока не получено оптимальное целочисленное решение исходной задачи.

Название метода ветвей и границ исходит из того, что в процессе решения задача последовательно «ветвится», заменяясь более простыми. Процесс решения можно продолжать в виде дерева, цифры в узлах (вершинах) которого обозначают план решения задачи (искомые переменные).