2. Критерий Гурвица.

Параметр Гурвица возьмем равным γ=0,6: H = Max {γmin a_ij + (1- γ)max a_ij}

j i i

5 10 18 25 5 25 5*0,6+0,4*25=13

А = 8 7 8 23 7 23 7*0,6+0,4*23=13,4

21 18 12 21 12 18 12*0,6+0,4*18=14,4

20 22 19 15 15 22 15*0,6+0,4*22=17,8

Получаем H_A = max[0.6 min а_ij+(1-0.6) max а_ij]=17.8

^{j i i}

Ответ: оптимальной стратегией первого игрока является

стратегия А₄.

3. Критерий Сэвиджа (критерий минимаксного риска).

Необходимо построить матрицу рисков.

Для этого:

1) вычислить максимальные значения по столбцам

5 10 18 25

А = 8 7 8 23

21 18 12 21

20 22 19 15

21 22 19 25

2) вычислить матрицу рисков: r_ij= max а_ij- а_ij

21-5 22-10 19-18 25-25 16 12 1 0

r_ij= 21-8 22-7 19-8 25-23 = 13 15 11 2

21-21 22-18 19-12 25-21 0 4 7 4

21-20 22-22 19-19 25-15 1 0 0 10

3) вычислить максимальные значения по строкам и из них выберем строку с минимальным значением:

16 12 1 0 16

13 15 11 2 15

r_ij= 0 4 7 4 7

1 0 0 10 10

Получаем H_A = min max r_ij = 7 при применении стратегии А₃.

^{j i}

Ответ: оптимальной стратегией первого игрока является

стратегия А₃.

4. Критерий Лапласа. N

Вычислить средние арифметические по строкам [1/n ∑ а_ij]

5 10 18 25 0.25 (5+10+18+25)=14.5 ^j=1

A = 8 7 8 23 0.25 (8+7+8+23)=11.5

21 18 12 21 0.25 (21+18+12+21)=18

20 22 19 15 0.25 (20+22+19+15)=19

_n

Получаем H_A = max [1/n ∑ а_ij] =19 при применении стратегии А₄.

^{j j=1}

Ответ: оптимальной стратегией первого игрока является

стратегия А₄.

Выбор стратегии в условиях риска (при наличии вероятностной информации).

В₁ В₂ В₃ В_{4 n}

А₁ 5 10 18 25 H _A= max∑P_j а_ij

А₂ 8 7 8 23 ^{j j=1}

А₃ 21 18 12 21

А₄ 20 22 19 15

Вероятности стратегий второго игрока.

В1	В2	В3	В4
0.2	0.15	0.35	0.3

5*0.2+10*0.15+18*0.35+25*0.3=16.30

8*0.2+7*0.15+8*0.35+23*0.3=12.35

21*0.2+18*0.15+12*0.35+21*0.3=17.40

20*0.2+22*0.15+19*0.35+15*0.3=18.45

Получаем Н_A = 18,45 при применении стратегии А₄.

Ответ: оптимальной стратегией первого игрока является

стратегия А₄.

ПРИМЕР №2

Предприятие имеет возможность самостоятельно планировать объемы выпуска сезонной продукции А₁, А₂, А₃. Не проданная в течении сезона продукция позже реализуется по сниженной цене. Данные о себестоимости продукции, отпускных ценах и объемах реализации в зависимости от уровня спроса приведены в таблице:

Вид продукции	Себесто-имость	Цена единицы Продукции		Объем реализации При уровне спроса
		В течение сезона	После уценки	Повы-шенном	среднем	Пони- женном
А1	d1	р1	q1	a1	b1	c1
А2	d2	р2	q2	a2	b2	c2
А3	d3	р3	q3	а3	b3	c3

Требуется:

1) придать описанной ситуации игровую схему, указать допустимые стратегии сторон, составить платежную матрицу

2) дать рекомендации об объемах выпуска продукции по видам, обеспечивающих предприятию наивысшую прибыль.

Указание. Для уменьшения размерности платежной матрицы считать, что одновременно на все три вида продукции уровень спроса одинаков:

повышенный, средний или пониженный.

Вид продукции	Себесто-имость	Цена единицы Продукции		Объем реализации При уровне спроса
		В течение сезона	После уценки	Повы-шенном	среднем	Пони- женном
а1	2,6	3,4	2,8	14	8	5
а2	3,7	4,2	3,2	38	22	9
а3	1,5	2,8	1,7	24	13	7

Решение.

Игровая схема:

В игре участвуют 2 игрока: А - производитель, В - потребитель.

Игрок А стремится реализовать свою продукцию так, чтобы получить максимальную прибыль. Стратегиями игрока А являются:

А₁ - продавать продукцию при повышенном состоянии спроса

А₂ - продавать продукцию при среднем состоянии спроса

А₃ - продавать продукцию при пониженном состоянии спроса

Игрок В стремится приобрести продукцию с минимальными затратами. Стратегиями игрока В являются:

В₁ - покупать продукцию при повышенном состоянии спроса

В₂ - покупать продукцию при среднем состоянии спроса

В₃ - покупать продукцию при пониженном состоянии спроса

Интересы игроков А и В - противоположны.

Определим прибыль от реализации продукции в течение сезона и после уценки:

Вид продукции	себестоимость	прибыль в течение сезона	прибыль после уценки
А1	2,6	3,4-2,6=0,2	2,8-2,6=0,2
А2	3,7	4,2-3,7=0,5	3,2-3,7= -5
А3	1,5	2,8-1,5=1,3	1,7-1,5=0,2

Рассчитаем элементы платежной матрицы (матрицы прибыли):

Предложение	Спрос
	стратегии	Повышенный спрос 14+38+24	Средний спрос 8+22+13	Пониженный спрос 5+9+7
	Повышенный спрос 14+38+24	14*0,8+38*0,5+ 24*1,3=61,4	8*0,8+(14-8) *0,2+ 22*0,5+(38-22)*(-5) +13*1,3+(24-13)*0,2 =29,7	5*0,8+(14-5)*0,2+ 9*0,5+(38-9)*(-5)+ 7*1,3+(24-7)=8,3
	Средний спрос 8+22+13	8*0,8+22*0,5+ 13*1,3=34,3	8*0,8+22*0,5+ 13*1,3=34,3	5*0,8+(8-5)*0,2+ 9*0,5+(22-9)*(-5)+ 7*1,3+(13-7)*0,2 =12,9
	Пониженный спрос 5+9+7	5*0,8+9*0,5+7*1,3 =17,6	5*0,8+9*0,5+ 7*1,3=17,6	5*0,8+9*0,5+ 7*1,3=17,6

Составляем платежную матрицу игры.

Платежная матрица примет вид

Стратегии	В1	В2	В3	αi=min аij j
А1*	61.4	29.7	8.3	8.3
А2*	34.3	34.3	12.9	12.9
А3*	17.6	17.6	17.6	17.6
βj=max аij i	61.4	34.3	17.6

Рассчитываем нижнюю и верхнюю цену игры.

α = max α_i = 17.6 β = min β_j = 17.6

Так как α = β = ν = 17,6, то найдена седловая точка (А₃В₃). Значит оптимальное решение: А₃; В₃

Производитель (игрок А) получит гарантированную прибыль в размере 17,6 ден.ед., если будет реализовывать свою продукцию при пониженном уровне спроса в объеме 5,9 и 7 ед. соответственно продукции а₁, а₂ и а₃

Контрольные вопросы:

1.Дайте определение конфликтной ситуации.

2.Как называется математическая модель конфликтной ситуации?

3.Как называются заинтересованные стороны в теории игр?

4.Какая игра называется антагонистической? Приведите пример.

5.Дайте определение понятию «стратегия».

6.Что понимается под исходом конфликта?

7.Дайте определение понятию «выигрыш».

8.На какие классы делятся игры в зависимости от числа игроков?

9.В чем состоит цель игрока А при выборе стратегии ?

10. В чем состоит суть максиминного принципа оптимальности и как называется выигрыш, полученный в соответствии в этим принципом?

11.Почему максимин α называют нижней ценой игры?

12.В чем состоит цель игрока В при выборе стратегии?

13.Почему минимакс β называют верхней ценой игры?

14.Почему справедливо неравенство α < β ?

15.Дайте определение цены игры в чистых стратегиях.

16.Какая игра называется игрой в смешанных стратегиях?

17.Как найти оптимальную смешанную стратегию игрока А и цену игры 2 х n геометрически?

18.Что в теории игр понимается под термином «природа»?

19.Приведите примеры в которых решение принимается в условиях неопределенности, связанной с неосознанным принятием различных факторов.

20.Чем отличается выбор оптимальных стратегий игроков в играх с природой от антагонистических игр?

21.Что понимается под риском игрока в игре с природой, и каким образом формируется матрица рисков,

22.Дайте определение критерия Вальда и как по нему определяется выигрыш?

23. Дайте определение критерия Севиджа и как по нему определяется выигрыш?

24. Дайте определение критерия Лапласа и как по нему определяется выигрыш?

25. Дайте определение критерия Байеса и как по нему определяется выигрыш?

26. Какой принцип выбора оптимальной стратегии лежит в основе критерия пессимизма –оптимизма Гурвица относительно выигрышей?

ЗАДАНИЕ3. Тема: «ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.

СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД».

Задача 3.1.

Предприятие планирует выпускать n видов продукции П_i (i= 1, 2, … , n). При её изготовлении используются ресурсы Р₁, Р₂, и Р₃. прямые затраты ресурсов ограничены соответственно величинами b₁, b₂, и b₃. Расход j-го ресурса (j= 1, 2, 3) на единицу продукции i-го вида составляет a_ij ед. Цена единицы продукции i-го вида равна С_i денежных единиц.

Требуется:

1. Составить математическую модель прямой и двойственной задачи. Раскрыть экономический смысл всех переменных, принятых в задаче;

2. Симплексным методом рассчитать план выпуска продукции по видам с учетом имеющихся ограничении ресурсов, который обеспечивал бы предприятию максимальный доход;

3. Используя решение исходной задачи и соответствия между прямыми и двойственными переменными, найти параметры оптимального плана двойственной задачи;

4. Указать наиболее дефицитный и недефицитный (избыточный) ресурс, если он имеется;

5. С помощью двойственных оценок y_j обосновать эффективность оптимального плана, сопоставить оценку израсходованных ресурсов и максимальный доход. Z_max от реализации готовой продукции по всему оптимальному плану и по каждому виду продукции отдельно;

6. Оценить целесообразность приобретения bk единиц ресурса K по цене C_k.

Необходимые исходные числовые данные приведены в табл. 3.1.

Табл.3.1

Параметр	Номер варианта
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
а11	5	2	7	4	10	4	10	2	7	4
а12	4	2	10	5	1	1	4	6	6	10
а13	7	5	4	9	9	5	1	9	5	2
а21	1	7	2	7	7	3	5	8	8	9
а22	9	0	5	4	3	6	3	7	1	1
а23	9	3	2	5	4	6	5	5	3	2
а31	2	2	3	9	5	4	2	10	3	7
а32	1	4	8	2	6	5	0	6	6	8
а33	5	4	3	9	3	1	4	2	10	1
b1	57	53	58	63	70	58	80	86	65	71
b2	58	97	95	72	96	66	89	77	97	81
b3	57	97	68	86	80	57	73	56	97	90
С1	13	28	17	27	18	14	23	19	19	27
С2	19	11	29	20	28	21	24	16	13	25
С3	20	18	21	20	21	17	27	23	24	17
K	2	2	2	3	3	3	2	1	3	2
bk	5	5	10	3	1	2	4	4	5	1
Сk	22	39	28	19	18	17	37	13	11	23

Задача 3.2.

Составить диету включающие белки, жиры и углеводы в количестве не менее b_i (i = 1, 2, 3). Для составления смеси можно использовать три вида продуктов B_j (j = 1, 2, 3), содержащую белки жиры и углеводы в количестве a_ij. Цена продуктов C_j. Необходимо определить такой набор продуктов, который обеспечил бы необходимое содержание питательных веществ, и полная стоимость его при этом была бы наименьшей.

Требуется:

1. Составить математическую модель прямой и двойственной задач. Раскрыть экономический смысл всех переменных, принятых в задаче;

2. Симплекс – методом решить двойственную задачу;

Необходимые исходные числовые данные приведена в табл. 3.2.

Таблица 3.2.

Параметр	Номер варианта
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
b1	10	8	22	19	1	1	2	17	14	22
b2	3	5	0	9	14	13	9	3	6	13
b3	13	15	9	15	12	0	14	6	17	6
а11	3	2	0	1	5	6	10	3	6	1
а12	2	2	1	1	7	5	5	9	3	5
а13	7	9	5	4	7	4	6	4	4	6
а21	9	5	8	0	7	5	2	4	7	3
а22	4	7	9	5	6	8	10	0	0	4
а23	8	6	0	2	6	8	4	7	1	10
а31	3	5	7	3	7	18	1	3	2	10
а32	9	14	9	8	12	11	6	9	12	0
а33	8	11	0	11	10	3	20	9	2	4
С1	29	20	26	18	16	23	29	26	26	11
С2	28	25	27	25	15	10	30	20	16	25
С3	25	13	20	15	19	22	10	26	13	24

Методические указания

Общая постановка задачи

Симплексный метод – метод последовательного улучшения плана.

Метод является универсальным, так как позволяет решить практически любую задачу линейного программирования. Математическая модель задачи приводится к каноническому (стандартному) виду. Заполняется исходная симплекс – таблица с использованием коэффициентов целевой функции и системы ограничений. Решается задача по алгоритму.

Идея симплексного метода заключается в том, что начиная с некоторого исходного опорного решения осуществляется последовательно направленное перемещение по допустимым решениям к оптимальному. Значение целевой функции для задач на максимум не убывает. Так как число допустимых решений конечно, то через конечное число шагов получим оптимальное решение.

Алгоритм симплексного метода

1. Математическую модель задачи привести к каноническому (стандартному) виду.

2. Построить начальную симплекс-таблицу исходя из стандартного вида.

3. Найти разрешающий столбец. В строке коэффициентов ЦФ найти значение с самим маленьким отрицательным числом. Этот столбец и будет разрешающим.

4. Вычислить разрешающую строку и ведущий элемент. (Почленно разделить столбец свободных членов на элементы разрешающего столбца, за исключением строки ЦФ. Выбрать наименьшее из частных. Эта строка будет разрешающей. Ведущий элемент будет на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки.).

5. Построить новую симплекс-таблицу-второй шаг.

При построении новой таблицы убрать из базиса строку с переменной разрешающей строки в предыдущей таблице. Ввести в базис строку с названием разрешающего столбца предыдущей таблицы.

Построение ведущей строки в новой таблице. Почленно поделить всю разрешающую строку на разрешающий элемент.

Построение других строк в новой таблице. Почленно умножить ведущую строку на соответствующие этим строкам элементы разрешающего столбца из предыдущей таблицы и прибавить к соответствующим строкам в старой таблице.

6. Проверяем таблицу второго шага на оптимальность. Если в строке целевой функции нет отрицательных элементов, тогда таблица имеет оптимальный план, записать ответ. Если в строке ЦФ есть отрицательный элемент (элементы), тогда переходят к следующему (третьему) шагу, строят новую симплекс-таблицу в соответствии п.5 и затем проверяют ее на оптимальность. Построение таблиц заканчивается с нахождением оптимального плана.

Прямая задача на минимум решается следующим образом:

Написать математическую модель двойственной задачи в стандартном виде

Решить двойственную модель симплекс - методом

Записать ответ.

Связь между задачами двойственной пары в том, что, решая симплексным методом одну из них, автоматически получаем решение другой.

Для этого достаточно воспользоваться соответствием переменных прямой и двойственной задач в последней симплекс-таблице.

Х1	x2	…	xn	S1	S2	…	Sm
S1	S2	…	Sm	y1	y2	…	ym

Задача

На предприятии имеется возможность выпускать n видов продукции (1,2,…n). При ее изготовлении используются ресурсы Р1, Р2, Р3. Размеры прямых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами b1, b2, b3. Расход i –го ресурса на единицу продукции j-того вида составляют aij. Цена единицы продукции j-того вида равна cj ден. ед. Сформулировать прямую и двойственную задачу и раскрывать экономический смысл всех переменных.

Требуется:

Найти оптимальный план симплекс-методом.

Найти решение двойственной задачи

Указать дефицитность ресурсов

Обосновать эффективность плана производства

Оценить целесообразность приобретения ресурса

Оценить целесообразность выпуска новой продукции

Данные:

b1 = 25, b2 = 30, b3 = 42

a11= 2, a12= 3, a13= 2, a14= 1

a21= 4, a22= 1, a23= 3, a24= 2

a31= 3, a32= 5, a33= 2,a34= 2

c1= 6, c2= 5, c3= 4, c4= 3

Математическая модель прямой задачи

max (Z= 6x1+5x2+4x3+3x4)

2x1+3x2+2x3+x4< 25

4x1+x2+3x3+2x4< 30

3x1+5x2+2x3+2x4< 42

x1, x2, x3, x4 > 0

Математическая модель двойственной задачи

min (Z*= 25y1+30y2+42y3)

2y1+4y2+3y3> 6

3y1+y2+5y3> 5

2y1+3y2+2y3> 4

y1+2y2+2y3> 3

y1, y2, y3, y4 > 0

Стандартный вид

min (Z= -6x1-5x2-4x3-3x4)

2x1+3x2+2x3+x4+S1=25

4x1+x2+3x3+2x4+S2=30

3x1+5x2+2x3+2x4+S3=42

x1, x2, x3, x4, S1, S2, S3 > 0

Экономический смысл переменных

Xi – количество произведенной продукции

Yj – цена ресурса

Si – количество оставшегося ресурса

базис	значение	x 1	x2	x3	x4	S1	S2	S3	отношение
Z	0	-6	-5	-4	-3	0	0	0
S1	25	2	3	2	1	1	0	0	12,5
S 2	30	4	1	3	2	0	1	0	7,5
S3	42	3	5	2	2	0	0	1	14
Таблица 2
базис	значение	x1	x 2	x3	x4	S1	S2	S3	отношение
Z	45	0	-3,5	0,5	0	0	1,5	0
S1	10	0	2,5	0,5	0	1	-0,5	0	4
x1	7,5	1	0,25	0,75	0,5	0	0,25	0	30
S3	19,5	0	4,25	-0,3	0,5	0	-0,8	1	4,59
Таблица 3
базис	значение	x1	x2	x3	x4	S1	S2	S3	отношение
Z	59	0	0	1,2	0	1,4	0,8	0
x2	4	0	1	0,2	0	0,4	-0,2	0
x1	6,5	1	0	0,7	0,5	-0,1	0,3	0
S3	2,5	0	0	-1,1	0,5	-1,7	0,1	1

Анализ решения

Продукции 1 вида производим 6,5 ед., второго вида 4 единицы, третьего и четвертого вообще не производим. Прибыль при этом составит 59 ден. единиц.

Ресурс 1 типа стоит 1,4 ден. ед., 2 типа – 0,8 ден. ед. Третий тип ресурса у нас остался в количестве 2,5 ед., поэтому его покупать не нужно.

Ресурсы 1 и 2 типа дефицитны, 3 типа избыточен.

Эффективность производства

Z = 6*6.5+5*4+4*0+3*0=59 Z*=25*1.4+30*0.8+42*0=59 Производство в целом эффективно.

2*1,4+4*0,8+3*0< 6 6=6 Производство 1 вида продукции эффективно

3*1,4+1*0,8+5*0< 5 5=5 Производство 2 вида продукции эффективно

2*1,4+3*0,8+2*0< 4 5,2> 4 Производство 3 вида продукции не эффективно

1*1,4+2*0,8+2*0< 3 3=3 Т.к. x4 не входит в базис, то оптимальный план не единственен.

Оценить целесообразность покупки 5 ед. второго ресурса по цене 10 ден. ед, т.е. единица ресурса обойдется нам в 2 ден. ед. Мы же готовы покупать только по 0,8 ден. ед. за 1 единицу ресурса.

а1 = 2, а2 = 2, а3 = 4. Цена новой продукции равна 4.

2*1,4+2*0,8+2*0< 4 4,4> 4 Производство 5 вида продукции не эффективно.

Контрольные вопросы.

1. Определение математической модели экономической задачи.

2. Виды математических моделей ЛП.

3. Составление математической модели.

4. Экономическая формулировка математической модели прямой и двойственной задач.

5. Понятие двойственности в задачах линейного программирования.

6. Правило построения математической модели двойственной задачи.

7. Первая теорема двойственности.

8. Вторая теорема двойственности.

9. Третья теорема двойственности.

10. Алгоритм геометрического метода решения задач ЛП.

11. Симплексный метод решения задач ЛП и его применение.

12. Алгоритм симплексного метода.

13. Анализ решения задачи по симплекс – таблице, отвечающей критерию оптимальности.

ЗАДАНИЕ 4. Тема: «ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.

ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА».

Задача 4.1

В пунктах А_i (i=1, 2, 3)производится однородная продукция в количестве а_i единиц. Себестоимость единицы продукции в i-м пункте равна C_i. Готовая продукция поставляется в пункты В_j (j=1, 2, 3, 4), потребности которых составляют b_j ед. стоимость перевозки единицы продукции из пункта A_i в пункт B_j задана матрицей C_ij.

Требуется:

1. Написать математическую модель прямой и двойственной задач с указанием экономического смысла всех переменных;

2. Составить план перевозки продукции, при котором минимизируются суммарные затраты по ее изготовлению и доставке потребителям для условия что продукция произведенная в пункте A_i, где себестоимость её производства наименьшая, распределяется полностью;

3. Вычислить суммарные минимальные затраты Z_min;

4. Узнать в какие пункты развозится продукция от поставщиков;

5. Установить пункты, в которых останется нераспределенная продукция, и указать её объем.

Необходимые исходные числовые данные приведены в таблице 4.1.

Таблица 4.1.

Параметр	Номер варианта
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
а1	449	152	492	283	393	461	320	476	115	420
а2	230	401	472	442	369	113	198	469	470	388
а3	439	358	232	118	136	300	305	185	373	342
С1	2	1	5	2	3	1	6	2	4	4
С2	3	1	5	5	5	4	2	2	3	2
С3	5	1	4	1	1	3	1	5	4	3
b1	122	211	164	195	296	279	146	144	187	291
b2	188	200	166	232	270	110	131	196	147	175
b3	135	144	103	131	140	162	201	123	161	196
b4	294	279	211	163	114	298	178	170	220	114
С11	4	3	10	8	9	7	2	6	9	4
С12	4	8	2	2	4	10	9	6	6	9
С13	3	6	9	7	4	9	2	1	4	1
С14	2	7	9	8	9	3	3	4	3	7
С21	2	6	4	6	10	5	9	9	2	2
С22	8	3	5	2	10	2	10	3	3	2
С23	7	9	5	7	8	7	1	6	5	6
С24	2	6	7	2	8	7	2	7	8	9
С31	4	10	6	10	3	3	10	2	9	4
С32	2	8	3	4	6	7	6	8	10	3
С33	2	5	7	4	7	4	3	9	6	9
С34	10	3	5	6	8	7	4	10	2	3

Задача 4.2.

Трудовые бригады Б₁, Б₂, Б₃ численностью, а₁, а₂, и а₃ человек, сформированы для уборки картофеля.

Для уборки картофеля на четырех полях П₁, П₂, П₃ и П₄ необходимо выделить b₁, b₂, b₃, и b₄ работников. Производительность труда работника зависит от урожайности картофеля, а так же от численности бригады и характеризуется для указанных бригад и полей элементами матрицы P_ij (в центнерах на человека за рабочий день).

Требуется:

1. Распределить работников каждой трудовой бригады по полям так, чтобы за рабочий день было убрано максимально возможное количество картофеля;

2. Определить сколько центнеров картофеля будет убрано с четырех полей при оптимальном распределении работников.

Необходимые исходные числовые данные приведены в таблице 4.2.

Таблица 4.2.

Параметр	Номер варианта
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
А1	82	99	99	45	54	70	49	73	92	79
А2	42	34	57	69	73	99	87	51	51	60
А3	63	72	31	76	86	80	75	67	81	33
B1	47	66	77	49	75	47	45	72	79	83
B2	45	32	97	71	43	59	77	65	93	68
B3	41	46	67	58	42	49	74	36	45	84
B4	81	95	61	93	41	43	100	83	52	53
Р11	5	5	4	6	8	3	4	4	6	10
Р12	9	8	3	7	6	7	3	10	7	10
Р13	4	2	7	6	2	2	4	8	8	6
Р14	7	4	6	5	6	5	4	2	1	5
Р21	8	7	7	3	5	2	8	2	2	9
Р22	4	6	9	10	7	3	8	5	2	6
Р23	2	7	5	4	5	4	2	9	9	7
Р24	3	1	1	8	6	6	4	3	8	2
Р31	4	5	6	6	6	6	8	7	3	5
Р32	8	4	5	8	7	4	8	8	3	7
Р33	2	3	5	9	8	3	4	8	6	9
Р34	4	4	8	4	3	5	8	7	7	3

Методические указания

Постановка задачи:

Однородный груз сосредоточен у m поставщиков в объемах а₁, а₂, …, а_m.

Данный груз необходимо доставить n потребителям в объемах, b₁, b₂, … , b_n.

Известен С_ij (i= 1, 2, … , m; j=1, 2 ,…, n) – стоимости перевозки единицы груза от каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю.

Требуется составить такой план перевозок, при котором запасы всех поставщиков вывозятся полностью, запросы всех потребителей удовлетворяются полностью и суммарные затраты на перевозку всех грузов минимальны.

Исходные данные транспортной задачи записываются в таблице вида:

bj аi	b1	b2	…	bn
а1	С11	С12	…	С1n
а2	С21	С22	…	С2n
…	…	…	…	…
аm	Cm1	Cm2	...	Cmn

Переменными (неизвестным) транспортной задачи являются x_ij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) – объемы перевозок от каждого i-го поставщика j-му потребителю. Эти переменные могут быть записаны в виде матрицы перевозок.

Математическая модель транспортной задачи

Математическая модель транспортной задачи в общем виде имеет вид:

Целевая функция задачи Z(X) выражает требование обеспечить минимум суммарных затрат на перевозку всех грузов. Вторая группа из уравнений ограничений записанных в общем виде, выражает требование, что запасы всех m, поставщиков вывозятся полностью, а также полностью должны удовлетворятся запросы всех n потребителей. Последнее неравенство является условием неотрицательности всех переменных.

В рассмотренной математической модели транспортной задачи предполагается, что суммарные запасы поставщиков равны суммарным запросам потребителей, т.е.

такая задача называется сбалансированной, а её модель закрытой. Если же это равенство не выполняется, то задача называется несбалансированной (с неправильным балансом), а её модель – открытой.

Для того чтобы транспортная задача линейного программирования имела решение, необходимо, чтобы суммарные запасы поставщиков равнялись суммарным запросам потребителей, т.е. задача должна быть сбалансированной.

Математическая модель двойственной задачи:

если целевая функция Z’ стремится к минимуму то в системе ограничении меняется знак: экономический смысл перемененных двойственной задачи:

U_i – условная оценка i-го поставщика (условная плата поставщика перевозчику);

V_j – условная оценка j-го потребителя (условная плата потребителя перевозчику).

U_i, V_j – называются потенциалами.

Определения:

1. Если задача открыта, то необходимо добавить фиктивного поставщика или потребителя с недостающим объемом поставки и нулевой стоимостью перевозки. Распределение поставки фиктивному потребителю (поставщику), идет в последнюю очередь.

2. Клетка в плане перевозок называется базисной (закрытой), если в нее ставится перевозка.

3. Количество базисных клеток определяется соотношением r=m+n-1. опорное решение не может иметь базисных клеток больше, чем r.

4. План называется вырожденным, если количество базисных клеток меньше r, т.е. базисных клеток не хватает при выполненном условии, что объем поставок поставщиков распределен полностью и спрос потребителей также удовлетворен. В этом случае необходимо добавить нулевую перевозку.

5. Если в задаче указана не только стоимость перевозки, но и стоимость производства товара, тогда необходимо сложить эти стоимости с учетом перевозки товара от i-го поставщика j-му потребителю. Кроме того, математическая модель составляется с учетом этой суммарной стоимости.