Задача 2.3

Предприятие имеет возможность самостоятельно планировать объемы выпуска сезонной продукции А₁, А₂, А₃. Не проданная в течение сезона продукция позже реализуется по сниженной цене. Данные о себестоимости продукции, отпускных ценах и объемах реализации в зависимости от уровня спроса приведены в таблице:

Вид продукции	Себестоимость	Цена единицы продукции		Объем реализации при уровне спроса
		в течение сезона	после уценки	1	2	3
А1	d1	p1	q1	a1	b1	c1
А2	d2	p2	q2	a2	b2	c2
А3	d3	p3	q3	a3	b3	c3

Требуется:

1) придать описанной ситуации игровую схему, указать допустимые стратегии сторон, составить платежную матрицу игры.

2) дать рекомендации об объемах выпуска продукции по видам, обеспечивающих предприятию наивысшую прибыль.

1. При условии, что вероятности известны.

2. При условии, что вероятности того или иного спроса одинаковы.

3. При условии, что про вероятности неопределенны.

Указание1. Для уменьшения размерности платежной матрицы считать, что одновременно на все три вида продукции уровень спроса одинаков: повышенный, средний или пониженный.

Указание2. Использовать критерии Байеса( вероятности равны 0,25, 0,4, 0,35 соответственно), Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица (значение параметра  в критерии Гурвица равно 0,6).

Исходные данные приведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
d1	0,4	0,1	0,6	0,9	0,9	1,0	0,0	0,4	0,9	0,1
d2	1,0	0,1	0,7	0,8	1,0	0,5	0,3	0,8	0,4	0,8
d3	0,8	0,6	0,2	0,4	0,6	0,7	0,6	0,2	1,0	0,7
p1	2,4	2,7	2,7	2,4	2,1	2,1	2,4	2,9	2,3	2,9
p2	2,0	2,1	2,2	2,4	2,4	2,2	2,8	2,0	2,1	2,1
p3	2,9	2,5	3,0	2,3	2,2	3,0	2,8	2,2	2,8	2,8
q1	1,5	1,5	1,6	1,0	1,9	1,1	1,9	1,3	1,9	1,7
q2	1,0	1,6	1,5	1,5	1,9	1,4	1,3	1,8	1,6	2,0
q3	1,3	1,3	1,7	1,9	1,4	1,3	1,2	1,8	1,4	1,1
a1	13	16	12	20	10	10	20	15	17	16
a2	17	15	17	16	14	19	10	20	17	19
a3	13	14	12	19	16	19	20	19	11	13
b1	6	10	5	7	7	7	6	9	5	8
b2	6	9	9	6	8	8	9	9	5	6
b3	9	5	8	8	9	9	8	9	6	9
c1	3	2	5	1	5	5	3	6	2	5
с2	2	3	3	5	3	7	4	2	6	4
c3	2	5	2	3	4	5	5	3	3	6

Методические указания

Рассмотрим задачу.

Предприятие может выпускать три вида продукции – A₁, A₂ и A₃, получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может быть в одном из четырех состояний – B₁, B₂, B₃, B₄. Дана матрица, ее элементы a_ij характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске i-й продукции при j-м состоянии спроса.

Продукция	Состояние спроса
	B1	B2	B3	B4
A1	3	3	6	8
A2	9	10	4	2
A3	7	7	5	4

Определить оптимальные объемы выпускаемой продукции, гаранти­рующие среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса, считая его неопределенным.

Ознакомимся с основными понятиями теории игр.

Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте, – игроками, а исход конфликта – выигрышем.

Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, опреде­ляющая:

1) варианты действий игроков;

2) объем информации о поведении партнеров, которой владеет каждый игрок;

3) выигрыш, к которому при­водит каждая совокупность действий. Как правило, выигрыш (или проиг­рыш) может быть задан количественно.

Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множе­ственной, если число игроков больше двух. Мы будем рассматривать толь­ко парные игры. В них участвуют два игрока: А и В, интересы которых противоположны, а под игрой будем понимать ряд действий со стороны игроков А и В.

Игра называется игрой с нулевой суммой или антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. для полного "задания" игры достаточно указать величину выигрыша первого игрока. Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока.

Стратегией игрока называется совокупность принципов, определяю­щих выбор его действий при каждом личном ходе в зависимости от сло­жившейся ситуации. Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число шагов.

Для того чтобы найти решение игры, следует для каждого игрока вы­брать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй игрок придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей страте­гии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т.е. любому из игро­ков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии естественно пола­гать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов.

Матрица, элементы которой характеризуют прибыль первого игрока при всех возможных стратегиях, называется платежной матрицей игры.

Рассматриваемая задача сводится к игровой модели, в которой игра предприятия А против спроса В задана платежной матрицей

	B1	B2	B3	B4	αi
A1	3	6	8	8	3
A2	9	4	2	2	2
A3	7	5	4	4	4
βj	9	6	8	8

Обозначим через a_i наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии А. для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i-й строке платежной матрицы), т.е. a_i = min a_ij.

Среди всех чисел a_i (i = 1, 2, ..., m) Выберем наибольшее: α = max α_i. Назовем α нижней ценой игры или максимальным выигрышем (максими-ном). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Следовательно, α = max min a_ij.

Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией. Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А. Выбирая стратегию B_j, он учитывает максимально возможный при этом выигрыш для игрока А. Обозначим β_j = max a_ij

Среди всех чисел β_j выберем наименьшее: β = min β_j и назовем β верх­ней ценой игры или минимаксным выигрышем. Это гарантированный проигрыш игрока В.

Следовательно, β = min max a_ij. Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией.

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" мини­максной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника. Определим нижнюю и верхнюю цену игры и соответствующие стратегии в задаче: α = 4, β = 6. Так как , то седловая точка отсутствует и оптимальное решение следует искать в смешанных стратегиях игроков.

Смешанной стратегией S_A игрока А называется применение чистых стратегий A₁, A₂, …, A_i, …, A_m c вероятностями p₁, p₂, …, p_i, …, p_m, причем сумма вероятностей равна 1: . Смешанные стратеги игрок А запи-­ сываются в виде строки S_A = (p₁, p₂, …, p_i, …, p_m).

Аналогичн смешанные стратегии игрока В обозначаются в виде строки S_B = (q₁, q₂, …, q_i, …, q_m), где сумма вероятностей появления стратегий равна 1: . Итак, S_A^* = (p₁, p₂, p₃) и S_B^*= (q₁, q₂, q₃, q₄).

Обозначив x_i = p_i /v, i= 1, 2, 3, 4 и y_j = p_j,/v, j = 1, 2, 3, 4, составить пару двойственных задач линейного программирования, затем привести математическую модель задачи к каноническому (стандартному) виду и решить симплексным методом .Из симплексной таблицы с оптимальным решением взять значения параметров (-Z), x_i и вычислить цену игры v, и вероятности применения стратегий p_i. Сделать анализ решения.

прямая задача

двойственная задача

Игры с « природой».

Для того чтобы можно сделать вывод о том какую именно стратегию выбирать игроку, необходимо использовать критерии Вальда, Гурвица, Сэвиджа, Лапласа, Байеса.

1. Критерий Вальда. Рекомендуется применять максиминную стратегию. Она достигается из условия H_A= max min α_ij и совпадает с нижней ценой игры. j i

Критерий является пессимистическим, считается, что природа будет действовать наихудшим для человека образом, агрессивно, делать все, чтобы помешать нам достигнуть успеха.

Рассмотрим задачу.

Ежедневный спрос на булочки в продовольственном магазине может принимать следующие значения

1	2	3	4	5
100	150	200	250	300

Если булочка не продана днем, то она м.б. реализована за 15 центов к концу дня. Свежие булочки продаются по 49 центов за штуку. Затраты магазина на одну булочку 25 центов.

Используя игровой подход, определить, какое число булочек надо заказывать ежедневно.

Составим платежную матрицу. Сначала вычислим прибыль (49-25=24) и убыток (15-25=-10).

	100	150	200	250	300
100	100*24	100*24	100*24	100*24	100*24
150	100*24-50*10	150*24	150*24	150*24	150*24
200	100*24-100*10	150*24-50*10	200*24	200*24	200*24
250	100*24-150*10	150*24-100*10	200*24-50*10	250*24	250*24
300	100*24-200*10	150*24-150*10	200*24-100*10	250*24-50*10	300*24

Платежная матрица примет вид

	100	150	200	250	300
100	2400	2400	2400	2400	2400
150	1900	3600	3600	3600	3600
200	1400	3100	4800	4800	4800
250	900	2600	4300	6000	6000
300	400	2100	3800	5500	7200

Вычислим критерий Вальда - максиминный. Он отражает принцип гарантированного результата:

Олицетворяет позицию крайнего пессимизма: надо ориентироваться всегда на худшие условия, зная наверняка, что хуже этого не будет. Этот перестраховочный подход для того, кто очень боится проиграть.

Оптимальной считается стратегия, при которой гарантируется выигрыш в любом случае, не меньший, чем нижняя цена игры с природой:

Н_a = max min α_ij

j i

Подсчитать min по строкам и выбрать ту стратегию, при которой минимум строки максимален.

А1	2400
А2	1900
А3	1400
А4	900
А5	400

Критерий Вальда рекомендует выбирать стратегию А_1.

2. Критерий Гурвица (оптимизма - пессимизма). Критерий рекомендует при выборе решения не руководствоваться ни крайним пессимизмом (всегда рассчитывай на худшее), ни крайним легкомысленным оптимизмом (авось кривая выведет). Критерий рекомендует стратегию, определяемую по формуле

H_a = Max {γmin a_ij + (1- γ)max a_ij}

j i i

где γ - степень оптимизма - изменяется в диапазоне [0, 1].

Критерий придерживается некоторой промежуточной позиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения природы. При γ = 1 критерий превращается в критерий Вальда, при γ = 0 - в критерий максимума. На γ оказывает влияние степень ответственности лица, принимающего решение по выбору стратегии. Чем хуже последствия ошибочных решений, больше желания застраховаться, тем γ ближе к единице.

Рассмотрим платежную матрицу.

Параметр Гурвица возьмем равным 0,6.

	min	max	γmin aij + (1- γ)max aij
А1	2400	2400	2400*0.6+0.4*2400=2400
А2	1900	3600	1900*0.6+3600*0.4=2580
А3	1400	4800	1400*0.6+4800*0.4=2760
А4	900	6000	900*0.6+6000*0.4=2940
А5	400	7200	400*0.6+7200*0.4=3120

Критерий Гурвица рекомендует стратегию А₅.

3. Критерий Сэвиджа. Суть критерия состоит в выборе такой стратегии, чтобы не допустить чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Находится матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек (фирма), если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии.

Элементы матрицы рисков находится по формуле (r_ij):

r_ij = max a_ij - a_ij

где max a_ij - максимальный элемент в столбце исходной матрицы. j

Оптимальная стратегия находится из выражения

H_a = Min {max(max a_ij - a_ij)}

j i j

Составим матрицу риска, (max a_ij - a_ij).

Выберем максимальный элемент в столбце и вычитаем из него остальные элементы столбца, получим max(max a_ij - a_ij).

	100	150	200	250	300	Мax
А1	0	1200	2400	3600	4800	4800
А2	500	0	1200	2400	3600	3600
А3	1000	500	0	1200	2400	2400
А4	1500	1000	500	0	1200	1500
А5	2000	1500	1000	500	0	2000

Из максимальных значений последнего столбца выбираем минимальную величину, получим Min {max(max a_ij - a_ij)}.

Критерий Сэвиджа рекомендует стратегию А₄.

4. Критерий Лапласа. Этот критерий основывается на принципе недостаточного обоснования. Поскольку вероятности состояния не известны, необходимая информация для вывода, что эти вероятности различны, отсутствует. Поэтому можно предположить, что они равны. Выбор стратегии осуществляется по формуле

H_a = Max {1/n·∑ a_ij}

где 1/n вероятность реализации одного из состояний р = 1/n.

А1	(2400+2400+2400+2400+2400)/5=2400
А2	(1900+3600+3600+3600+3600)/5=3260
А3	(1400+3100+4800+4800+4800)/5=3780
А4	(900+2600+4300+6000+6000)/5=3960
А5	(400+2100+3800+5500+7200)/5=3800

Критерий Лапласа рекомендует нам стратегию А₄.

Таким образом, рассмотрев одну платежную матрицу, мы получили, что критерии Лапласа и Сэвиджа рекомендует стратегию А₄. То есть необходимый заказ булочек составит 250 единиц ежедневно.

5. Критерий Байеса. Принятие решения в условиях риска.

Если в рассмотренных выше критериях, необходимая информация о вероятностях какого-либо состояния отсутствовала, то критерий Байеса действует в условиях не полной информации, т.е. в условиях риска (имеется информация о вероятностях применения стратегий второй стороной). Эти вероятности называются априорными вероятностями.

Выбор стратегии осуществляется по формуле

H_a = Max {∑p_i a_ij}

Ежедневный спрос на булочки в продовольственном магазине задается следующим распределением вероятностей

1	2	3	4	5
100	150	200	250	300
0,2	0,25	0,3	0,15	0,1

Подставив значение a_ij и p_i в формулу, получим:

А1	2400*0,2+2400*0,25+2400*0,3+2400*0,15+2400*0,1=2400
А2	1900*0,2+3600*0,25+3600*0,3+3600*0,15+3600*0,1=3260
А3	1400*0,2+3100*0,25+4800*0,3+4800*0,15+4800*0,1=3695
А4	900*0,2+2600*0,25+4300*0,3+6000*0,15+6000*0,1=3620
А5	400*0,2+2100*0,25+3800*0,3+5500*0,15+7200*0,1=3290

Критерий Байеса рекомендует стратегию А₃

В условиях полной неопределенности теория не дает однозначных принципов выбора того или иного критерия.

Оптимальные стратегии, выбранные по различным критериям, различны.

Таким образом, окончательный вывод зависит от предпочтений человека, который принимает решение.

ПРИМЕР №1

Найти оптимальные стратегии 1-го игрока, исходя из различных критериев, в игре с полной неопределенностью относительно второго игрока, заданной платежной матрицей:

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₁₄ 5 10 18 25

а₂₁ а₂₂ а₂₃ а₂₄ 8 7 8 23

А = а₃₁ а₃₂ а₃₃ а₃₄ ; А = 21 18 12 21

а₄₁ а₄₂ а₄₃ а₄₄ 20 22 19 15

Решение.

1. Максиминный критерий Вальда. H_{A =} max min а_ij

^{j i}

Вычислим минимальные значения по строкам min а_ij, а далее из них выберем максимальное.

5 10 18 25 5

А = 8 7 8 23 7

21 18 12 21 12

20 22 19 15 15

Таким образом, получаем Н_A = max min а_ij = 15 при применении стратегии А₄. ^{i j}

Ответ: оптимальной стратегией 1-го игрока А является

стратегия А₄.