Методичні вказівки
Робота виконується за допомогою прикладних математичних пакетів MatLab або MathCad аналогічно до попередніх робіт.
Порядок виконання роботи
Набрати модель системи з параметрами згідно варіанту або задати аналітичні вирази.
2. Подати на вхід одиничну ступінчату функцію та одержати графіки перехідної та імпульсної характеристики (часові) та частотних характеристик, а саме: амплітудно-частотну(АЧХ), фазо-частотну(ФЧХ), амплітудно-фазову(АФХ), логарифмічну амплітудно-частотну(ЛАЧХ) та асимптотичну логарифмічну амплітудно-частотну(АЛАЧХ).
3. Побудувати перехідну характеристику при збільшенні та зменшенні постійної часу T та коефіцієнта підсилення k у 2 рази.
4. Проаналізувати отримані результати.
Звіт повинен містити
1. Тему та мету роботи.
2.Передаточну функцію ланки, що вивчається та значення коефіцієнтів підсилення і постійних часу згідно варіанту.
3.Розраховані залежності, які необхідні для побудови частотних та часових характеристик.
4.Графіки усіх отриманих характеристик.
5. Висновки по роботі
Варіанти завдань
№ варіанту |
K |
T |
№ варіанту |
K |
T |
1 |
4 |
1 |
16 |
2 |
0,25 |
2 |
2 |
0,1 |
17 |
8 |
0,1 |
3 |
3 |
2 |
18 |
1 |
1,5 |
4 |
2 |
0,25 |
19 |
4 |
0,8 |
5 |
1 |
0,5 |
20 |
3 |
0,7 |
6 |
7 |
1,2 |
21 |
2 |
0,4 |
7 |
3 |
0,5 |
22 |
6 |
0,9 |
8 |
3 |
1 |
23 |
4 |
0,4 |
9 |
0,5 |
0,8 |
24 |
7 |
0,3 |
10 |
1 |
1 |
25 |
8 |
1 |
11 |
4 |
0,25 |
26 |
1 |
0,1 |
12 |
2,5 |
0,7 |
27 |
4 |
1,4 |
13 |
4 |
0,5 |
28 |
10 |
1 |
14 |
6 |
0,1 |
29 |
2 |
0,25 |
15 |
3 |
0,25 |
30 |
3 |
2 |
Лабораторна робота №4
Тема: коливальна ланка
Мета: зняти часові та частотні характеристики, виконати аналіз коливальної ланки.
Теоретичні відомості
Дану ланку можна змоделювати такою системою:
Передаточна функція схеми має вигляд:
,
де
.
Умова коливальності ланки має вигляд:
.
Тобто, задавшись певним значенням постійної часу аперіодичної ланки треба коефіцієнт підсилення збільшити доти, поки система не стане коливальною.
Звідси видно, що параметри коливальної ланки виражаються через параметри даної системи наступним чином:
,
.
Передаточна функція
має вигляд:
Диференційне
рівняння ланки:
Із взаємної відповідності динамічних характеристик відомо, що перехідна функція може бути знайдена як зворотне перетворення Лапласа частки, діленим якої є передаточна функція, а дільником – оператор р. Тобто:
Знайдемо перехідну функцію. Для цього отриманий дріб розкладемо методом невизначених коефіцієнтів на прості дроби, але при цьому визначимо комплексні корені характеристичного рівняння:
Тут
– коефіцієнт затухання;
– кругова частота затухаючих коливань,
рад/с.
Маємо:
З таблиці зворотного перетворення Лапласа видно, що
Перетворивши отриману формулу, знаходимо h(t):
Застосуємо формулу Ейлера:
де
.
За теоремою Вієта для приведеного характеристичного квадратного рівняння можемо стверджувати, що:
Одержали перехідну функцію в остаточному вигляді:
.
Як бачимо період затухаючих коливань дорівнює:
Чим більше коефіцієнт
ξ і менше постійна Т, тим швидше затухають
коливання. Якщо коефіцієнт демпфірування
ξ=0, то на виході ланки після подачі
одиничного ступінчатого збурення
виникають незатухаючі коливання з
частотою
.
Швидкість затухання коливальних процесів оцінюється ступенем затухання:
,
де
і
– дві сусідні амплітуди над усталеним
значенням перехідної функції.
З рівняння перехідної функції легко отримати верхню вітку огинаючої :
Оскільки амплітуди
і
відповідають деяким моментам часу
і
,
то маємо:
Підставивши в дану
формулу значення
і
,
одержимо степінь затухання у вигляді:
Знайдемо тепер імпульсну перехідну функцію. Як відомо, вона представляє собою похідну від перехідної функції, тобто:
,
де кут
.
З цього витікає наступний вираз для
імпульсної перехідної функції:
Амплітудно-фазова характеристика може бути отримана шляхом підстановки в передаточну функцію .
Звідси видно, що дійсна і уявна частотні характеристики дорівнюють відповідно:
;
.
Амплітудно-частотна характеристика представляє собою модуль вектора амплітудно-фазової характеристики і знаходиться за формулою:
Підставивши в дану формулу вирази для та , отримаємо:
Проаналізувавши графік функції , можна побачити, що коливальна ланка має властивості фільтру низьких частот, тобто гармонічні сигнали малої частоти пропускаються ланкою добре, а сигнали великої частоти зазнають сильного ослаблення.
Знайдемо точку максимуму амплітудно-частотної характеристики:
Фазочастотна характеристика може бути отримана за формулою:
Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика описується виразом:
Асимптотична логарифмічна амплітудно-частотна характеристика характеризується тим, що її перша асимптота при ( ) представляє пряму паралельну осі :
,
а при ( ) представляє пряму, яка має нахил :
Частота спряження:
.